مشتق

اگر ${\displaystyle (x,f(x))}$

کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی ${\displaystyle f}$

تعریف مشتق تابع

برای تابع ${\displaystyle f}$

بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند.

با تبدیل ${\displaystyle h}$

لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آن‌ها مطرح می‌ساخت. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطهٔ علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند.

لایبنیتس در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$

نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از ${\displaystyle \dot{y}}$

مشتق تابع ${\displaystyle f}$

در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط لوییس آربوگاست معرفی شد و توسط لئونارد اویلر مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق ${\displaystyle f}$

مشتق راست: اگر تابع ${\displaystyle f}$

مشتق چپ: اگر تابع ${\displaystyle f}$

تابع ${\displaystyle f}$

تعبیر هندسی مشتق‌پذیری: تابع ${\displaystyle f}$

اگر تابع ${\displaystyle f}$

ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در ${\displaystyle x=a}$

موارد مشتق‌ناپذیری

مواردی که تابع در نقطهٔ مفروض ${\displaystyle a}$

1. نقاط ناپیوسته: تابع در نقاط ناپیوسته مشتق‌ناپذیر است و از دید هندسی نمی‌توان در این نقاط مماس بر منحنی رسم کرد.
2. نقاط زاویه‌دار: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها دو عدد حقیقی نابرابر، یا یکی عدد و دیگری بی‌نهایت باشد، مشتق‌پذیر نیست. از دید هندسی، در این نقاط دو نیم‌مماس بر منحنی رسم می‌شود که با هم زاویه می‌سازند.
3. نقاط عطف قائم: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها بی‌نهایت‌های هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک خط کامل مماس به موازات محور yها رسم کرد. نقطهٔ عطف قائم تنها نقطه‌ای است که تابع در آن مشتق‌پذیر نیست ولی مماس کامل دارد.
4. نقاط بازگشت: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها بی‌نهایت‌های غیر هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک نیم‌مماس، به موازات محور yها رسم کرد.
5. تابع در نقاطی که پیوسته‌اند ولی مشتق در آن‌ها به سمت عدد مشخصی میل نمی‌کند نیز مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط نمی‌توان مماس مشخصی بر منحنی رسم کرد.

منظور از دامنهٔ تابع مشتق مجموعهٔ نقاطی است که تابع در آن‌ها مشتق‌پذیر است. به‌طور کلی برای تابع ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \}}$

مجموعه نقاطی که ${\displaystyle f^{\prime }}$

در آن تعریف نشده‌است ${\displaystyle D_{f^{\prime }}=D_f-\{}$

هرگاه بخواهیم مشتق یک تابع مانند ${\displaystyle f}$

مشتق توابع پارامتری

توابع که به فرم ${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}}$

مشتق تابع مرکب

اگر تابع ${\displaystyle g}$

به بیان دیگر، هرگاه ${\displaystyle y}$

همچنین به شکل دیگری برای توابع ${\displaystyle f}$

مشتق توابع زوج و فرد

مشتق هر تابع زوج، تابعی فرد است و مشتق هر تابع فرد، تابعی زوج است.

اگر ${\displaystyle f}$

اگر ${\displaystyle f}$

پادمشتق

اگر ${\displaystyle f}$

تابع اولیه یا پادمشتق تابع ${\displaystyle f}$

اگر ${\displaystyle u(x)={\int }_{g(x)}^{h(x)}f(t)dt}$

مشتق جزئی

مشتق جزئی، پاره‌ای یا نسبی، به مشتق تابع چند متغیرهٔ ${\displaystyle f(x_1,x_2,\dots ,x_n)}$

به‌طور کلی، حاصل حد زیر، در صورت وجود برابر مشتق جزئی تابع چند متغیرهٔ ${\displaystyle f}$

مشتق ضمنی

در مقابل رابطهٔ صریح تابع به شکل کلی ${\displaystyle y=f(x)}$

• استفاده از قاعدهٔ زنجیری: در این روش، از طرفین رابطه نسبت به ${\displaystyle x}$
  مشتق می‌گیریم و با فاکتورگیری، ${\displaystyle y^{\prime }}$
  را بدست می‌آوریم. (اگر بخواهیم مشتق را نسبت به ${\displaystyle x}$
  حساب کنیم آنگاه ${\displaystyle x_x^{\prime }=1}$
  و ${\displaystyle y_x^{\prime }=y^{\prime }}$
  خواهد بود)
• استفاده از مشتق جزئی: در این روش از رابطهٔ زیر استفاده می‌شود:

مشتق جهت‌دار

مشتق جزئی تابع ${\displaystyle f(x,y,z)}$

که در آن نقطهٔ ${\displaystyle P}$

مشتق تابع برداری

مشتق تابع برداری ${\displaystyle f=\left(f_1,f_2,\dots ,f_n\right)}$

تابع ${\displaystyle f}$

برای محاسبهٔ مشتق یک تابع برداری، می‌توان آن را برحسب مؤلفه‌های قائم خود، به صورت ${\displaystyle u_x=f(t)}$

مشتق کل

هرگاه ${\displaystyle f}$

برخلاف مشتق جزئی، در محاسبهٔ مشتق کل تابع ${\displaystyle f(t,x,y)}$

مشتق کل در حساب دیفرانسیل با مفهومی مشابه، به یک عملگر دیفرانسیلی نیز گفته می‌شود. این عملگر دیفرانسیلی، مشتق کل تابع را نسبت ${\displaystyle x}$

مشتق تابع معکوس

اگر تابع ${\displaystyle f}$

تعبیر هندسی: شیب خط مماس بر منحنی ${\displaystyle f^{-1}}$

از قضیهٔ مشتق تابع معکوس، روابط زیر را نیز خواهیم داشت:

اگر تابع ${\displaystyle f}$

مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آید. به‌طوری‌که با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند. به صورت کلی داریم:

مشتق nام چند تابع مهم

مشتق ${\displaystyle n}$

قاعدهٔ لایبنیتس

قاعدهٔ لایبنیتس بیان می‌کند که اگر دو تابع ${\displaystyle f}$

اگر تابع ${\displaystyle f}$

نقاط ${\displaystyle c}$

نتیجهٔ قضیهٔ رول: اگر تابع ${\displaystyle f}$

حالت خاص قضیهٔ رول: اگر فرض کنیم ${\displaystyle f(a)=f(b)=0}$

قضیهٔ لاگرانژ یا مقدار میانگین مشتق بیان می‌کند که هرگاه تابع ${\displaystyle f}$

• تعبیر هندسی: قضیه بیان می‌کند که در بازهٔ ${\displaystyle (a,b)}$
  حداقل یک نقطه وجود دارد که مماس بر منحنی در آن نقطه به موازات خط واصل نقاط دو سر منحنی است.
• تعبیر فیزیکی: اگر نمودار را مکان-زمان در نظر بگیریم و بازهٔ ${\displaystyle (a,b)}$
  بازهٔ زمانی باشد، قضیهٔ فوق می‌گوید، حداقل یک لحظه در بازهٔ ${\displaystyle (a,b)}$
  وجود دارد که سرعت لحظه‌ای با سرعت متوسط برابر می‌شود.

قضیهٔ کوشی که صورت تعمیم یافتهٔ قضیهٔ لاگرانژ است، بیان می‌کند که هرگاه توابع ${\displaystyle f}$

خط مماس و قائم

مشتق به ازای مختصات نقطهٔ تماس برابر است با ضریب زاویهٔ خط مماس. پس برای تعیین شیب خط مماس یا قائم بر منحنی و تعیین معادلهٔ آن‌ها می‌توان از مشتق استفاده کرد.

معادلهٔ خط مماس در نقطهٔ ${\displaystyle (x_0,y_0)}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}y-y_0=m(x-x_0)\\ m=f^{\prime }(x_0)\end{array}}$

معادلهٔ خط قائم در نقطهٔ ${\displaystyle (x_0,y_0)}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}y-y_0=m^{\prime }(x-x_0)\\ m^{\prime }={\displaystyle \frac{-1}{m}}\end{array}}$

معادلهٔ خط مماس بر منحنی از نقطه‌ای خارج از منحنی: اگر بخواهیم از نقطهٔ ${\displaystyle A(x_0,y_0)}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}m=f^{\prime }(a)\\ y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)\end{array}}$

در نهایت چون نقطهٔ ${\displaystyle A(x_0,y_0)}$

آهنگ تغییر

نسبت تغییرات دو کمیت را آهنگ تغییر یکی نسبت به دیگری می‌گویند.

آهنگ تغییر متوسط

آهنگ متوسط تغییرات ${\displaystyle f}$

آهنگ متوسط تغییرات ${\displaystyle f}$

آهنگ تغییر لحظه‌ای

اگر ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x\to 0}$

کمیت‌های وابسته

در برخی موارد دو کمیت (متغیر)، علاوه بر اینکه به هم مربوط‌اند، هر دو به متغیر سومی که معمولاً زمان است، بستگی دارند. در این موارد آهنگ تغییر این دو کمیت، نسبت به کمیت سوم در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، حد تغییرات مسافت پیموده شده به تغییرات زمانی را سرعت لحظه‌ای گویند:

زاویهٔ بین دو تابع

زاویهٔ بین خط و منحنی

زاویهٔ بین یک خط و منحنی عبارت است از زاویهٔ بین مماس رسم شده بر منحنی در نقطهٔ تقاطع با خط. برای تعیین زاویهٔ بین خط و منحنی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم:

1. خط را با منحنی قطع داده و مختصات نقطهٔ تقاطع را بدست می‌آوریم.
2. از منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویهٔ خط مماس بر منحنی را در نقطهٔ تقاطع می‌یابیم.
3. با کمک رابطهٔ ${\displaystyle \tan \alpha =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|}$
   زاویهٔ بین خط مماس و منحنی را بدست می‌آوریم.

زاویهٔ بین دو منحنی

برای یافتن زاویهٔ بین دو منحنی، ابتدا آن‌ها را با هم تلاقی داده و طول نقطهٔ تلاقی را می‌یابیم. سپس از دو منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویه‌های بدست آمده را در رابطهٔ ${\displaystyle \tan \alpha =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|}$

نقاط بحرانی

نقطهٔ درونی ${\displaystyle c\in D_f}$

در ضمن، اگر تابع ${\displaystyle f}$

اگر تابع ${\displaystyle f}$

اگر در بازهٔ فوق نقطه‌ای مثل ${\displaystyle c}$

تشخیص یکنوایی تابع

در تابع پیوستهٔ ${\displaystyle f}$