بیشینه و کمینه
در آنالیز ریاضی، بیشینه (ماکسیمم) و کمینهٔ (مینیمم) یک تابع (که به طور جمعی به آنها اکسترممهای آن تابع گویند) هاله عمو کوچولوبه بزرگترین مقدار و کوچکترین مقدار تابع (در صورت وجود)، یا در یک بازهٔ خاص (اکسترمم نسبی) و یا در کلّ دامنه (اکسترمم مطلق) گفته میشود.
فرما، یکی از اوّلین کسانی بود که روشی کلّی برای پیدا کردن اکسترممها پیشنهاد کردند.
تعریف
اکسترمم مطلق
نقطهٔ بیشینهٔ مطلق
به شکل مشابه، نقطهٔ کمینهٔ مطلق
در بیشتر اوقات، صفت «مطلق» برای اکسترمم مطلق ذکر نمیشود.
اکسترمم نسبی
نقطهٔ بیشینهٔ نسبی
تابع فاصله
به شکل مشابه، نقطهٔ کمینهٔ نسبی
اکسترمم اکید
مفهوم اکید را میتوان برای هر دو اکسترمم مطلق و نسبی تعریف کرد. به عنوان مثال:
نقطهٔ بیشینهٔ مطلق اکید
نقطهٔ بیشینهٔ نسبی اکید
یافتن اکسترممهای تابع
یافتن اکسترممها هدف بهینهسازی است.
قضیهٔ مقدار اکسترمم
- اگر تابع در بازهٔپیوسته باشد، آن گاهرویدارای حدّاقل یک مقدار بیشینهٔ مطلق و یک مقدار کمینهٔ مطلق است.
همان طور که از صورت قضیهٔ اکسترمم ملاحظه میشود شرط کافی برای وجود اکسترمم مطلق، پیوسته بودن تابع در فاصلهٔ
نقاط بحرانی
یک اکسترمم مطلق در یک بازه (در صورت وجود) یا یکی از اکسترممهای نسبی و یا ابتدا و انتهای بازه است.
طبق قضیهٔ فرما، هر اکسترمم نسبی، یک نقطهٔ بحرانی است.
پس با بررسی نقاط بحرانی و ابتدا و انتهای بازه و پیدا کردن بیشترین و کمترینشان میتوان اکسترممها را پیدا کرد.
جستارهای وابسته
منابع
- سیلورمن (۱۳۸۲)، حساب دیفرانسیل و انتگرال، ص. ۲۶۵، شابک ۹۶۴-۳۱۱-۰۰۵-۲
عملیات دوتایی | ||||
---|---|---|---|---|
عددی | تابعی | مجموعهای | ساختاری | |
مقدماتی
+ جمع حسابی
div خارج قسمت اقلیدسی ترکیباتی
() ضریب دوجملهای | ∘ ترکیب ∗ کانولوشن |
جبر مجموعهها
∪ اجتماع ترتیب کلی
توریها
|
مجموعهها
× ضرب دکارتی گروهها
⊕ حاصلجمع مستقیم مدولها
⊗ ضرب تانسوری |
درختها
واریتههای متصل
# جمع متصل فضاهای نقطهدار
|
بُرداری | ||||
(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری | ||||
جبری | ||||
[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی | ||||
هومولوژی | ||||
∪ cup-produit • حاصلضرب اشتراک | ترتیبی | |||
+ الحاق | ||||
منطق بولی | ||||
∧ عطف منطقی | ∨ فصل منطقی | ⊕ یای انحصاری | ⇒ استلزام منطقی | ⇔ اگر و فقط اگر |