جایگشت

جایگشت (خطی): هر ترتیب قرار گرفتن n شی در کنار هم را یک جایگشت می‌نامند.

رابطه عمومی جایگشت

چنان‌چه بخواهیم از میان n شیء، شمار r شیء را برگزینیم و در آن زیرمجموعه، ترتیب هم مهم باشد؛ شمار جایگشت‌ها چنین بدست می‌آید:

فرض کنید می‌خواهیم ${\displaystyle n}$

در جایگاه اول ممکن است هر یک از ${\displaystyle n}$

حالت و برای ${\displaystyle i}$

حالت داریم. با همین روند تمام ${\displaystyle n}$

طریق می‌توان با ${\displaystyle n}$

گاه جایگشت تنها ${\displaystyle r}$

تعریف

اگر مجموعه‌ای از ${\displaystyle n}$

نماد

جایگشت ${\displaystyle r}$

محاسبه

درست مانند طریقه محاسبه جایگشت‌های ${\displaystyle n}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود داریم:

که همان جایگشت n تایی می‌باشد که با جواب حاصل از انتخاب تمامی n عضو مجوعه n تایی و چیدن آنها در یک ردیف یعنی تبدیل n از n یکی است، که طبق تعاریف ذکر شده این امر واضح است.

گاهی اوقات اشیائی که می‌خواهیم جایگشت دهیم، همگی متمایز نیستند و اشیاء یکسان نیز در بین آنها وجود دارد.

فرض کنید، می‌خواهیم حروف کلمه HELLO را جایگشت دهیم. در نگاه اول پاسخ مسئله برابر ${\displaystyle 5!}$

چند مثال دیگر

• ۱۰ پرتقال یکسان و ۵ سیب یکسان در اختیار داریم. می‌خواهیم تمام این ۱۵ میوه را در یک ردیف پشت سر هم قرار دهیم. به چند طریق این کار قابل انجام است؟

پاسخ: با توجه به اینکه تمام پرتقال‌ها و تمام سیب‌ها یکسان هستند، همانند توضیحات بالا حالات نامطلوب را از کل حالات کم می‌کنیم: ${\displaystyle \frac{15!}{10!\times 5!}}$

• سعید می‌خواهد ۲ پیتزای یکسان، ۳ همبرگر یکسان و ۵ نوشابه یکسان را برای شام بخورد. او به چند طریق می‌تواند این کار را انجام دهد؟

پاسخ: توجه کنید که تمام غذاهای هم نوع، یکسان هستند و فقط ترتیب خوردن غذاها مهم می‌باشد، همانند مسائل قبل داریم: ${\displaystyle \frac{10!}{2!\times 3!\times 5!}}$

• به چند طریق می‌توان ۴ کتاب فیزیک، شیمی، ریاضی و هندسه را کنار هم قرار داد؟ ${\displaystyle 4!=24}$
• به چند طریق می‌توان ۵ پسر و ۴ دختر را در یک ردیف قرار داد، به طوری که تمام پسرها کنار هم و تمام دخترها کنار هم باشند؟ ${\displaystyle 2!\times 5!\times 4!}$
• به چند روش می‌توان از بین ۵ نفر، ۳ نفر را انتخاب کرده و مدال‌های طلا، نقره و برنز را به آنها اهدا کرد؟${\displaystyle \frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\times 3!}$
• به چند روش می‌توان اعضای مجموعه ${\displaystyle \{1,2,...,2n\}}$
  را جایگشت داد، به طوری که اعداد زوج در مکان‌های زوج و اعداد فرد در مکان‌های فرد ظاهر شوند؟ ${\displaystyle n!\times n!=(n!{)}^2}$

• ترکیب (ریاضی)

• عباس ثروتی، سعید نعمتی (اول بهار 1384)، ترکیبیات، انتشارات خوشخوان، شابک ۹۶۴-۸۶۰۱-۳۶-۴
• علی رضا علیپور (اول 1382)، ترکیبیات، انتشارات فاطمی، شابک ۹۶۴-۳۱۸-۳۴۲-۴