حلقه موضعی منظم

در جبر جابجایی، یک حلقه موضعی منظم (به انگلیسی: Regular Local Ring)، حلقه موضعی نوتری است که دارای این خاصیت است که کمترین تعداد مولدهای ایده‌آل ماکسیمالش برابر بعد کرولش است. به بیان دقیق‌تر، اگر $A$

یک حلقه موضعی نوتری با ایده‌آل ماکسیمال

m

باشد، فرض کنید که

a_{1},\cdots ,a_{n}

مجموعه کمینه (مینیمال) ای از مولدهای

m

باشد. آنگاه قضیه ایده‌آل اصلی کرول بیان می‌دارد که

n\geq \operatorname {dim} (A)

، و

A

منظم است اگر

n=\operatorname {dim} (A)

.

عنوان منظم برای چنین حلقه‌هایی توسط شهود هندسی آن توجیه می‌شود. یک نقطه $x$

روی واریته جبری

X

غیرتکین است اگر و تنها اگر حلقه موضعی

O_{X,x}

از جرم‌ها در

x

منظم باشد (رجوع کنید به: اسکیم منظم). حلقه‌های منظم به حلقه‌های منظم فون نویمن ارتباطی ندارند.

برای حلقه‌ها موضعی نوتری، زنجیره شمول زیر برقرار است:

حلقه‌های کتناری ⊃ حلقه‌های کوهن-مکالی ⊃ حلقه‌های گورنشتاین ⊃ حلقه‌ها اشتراک کامل ⊃ حلقه‌های موضعی منظم

یادداشت‌ها

↑ یک حلقه منظم فون نویمان موضعی حلقه تقسیم است، بنابر این دو شرط مذکور خیلی با هم سازگار نیستند.

ارجاعات

↑ Atiyah & Macdonald 1969, p. 123, Theorem 11.22.

منابع

Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, MR 0242802
Kunz, Characterizations of regular local rings of characteristic p. Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9. Chap.IV.D.
Tsit-Yuen Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8. Chap.5.G.
Regular rings at The Stacks Project

[2] یک حلقه منظم فون نویمان موضعی حلقه تقسیم است، بنابر این دو شرط مذکور خیلی با هم سازگار نیستند.

[FOOTNOTEAtiyahMacdonald1969123Theorem_11.22-1] Atiyah & Macdonald 1969, p. 123, Theorem 11.22.