توزیع ویشارت

Wishart
پارامترها	درجه آزادی (آمار) (عدد حقیقی); تجانس (هندسه) ( pos. def)
تکیه‌گاه	positive definite matrix
تابع چگالی احتمال	is the multivariate gamma function; is the اثر (ماتریس) function;
میانگین
مُد
واریانس
آنتروپی	see below
تابع مشخصه

در آمار توزیع ویشارت تعمیم چند بعدی توزیع کی‌دو یا به ازای حالاتی که پارامترهای توزیع صحیح نیستند، تعمیم توزیع گاما است. این توزیع به افتخار جان ویشارت نام گذاری شده است. در حقیقت توزیع ویشارت خانواده‌ای از توزیع احتمال روی ماتریس‌های متقارن معین-غیر منفی (به انگلیسی: non-negative-definite) است. این توزیع، مزدوج پیشین (به انگلیسی: conjugate prior) پارامتر معکوس ماتریس کواریانس در توزیع گوسی چند متغیره است.

تعریف

فرض کنید X ماتریس با ابعاد n × p باشد. هر سطر آن کهمتغیرهای تصادفی مستقل هستند، از یک توزیع گوسی p-متغیره نمونه گیری شده‌اند.

X_{(i)}{=}(x_{i}^{1},\dots ,x_{i}^{p})\sim N_{p}(0,V).

در اینصورت توزیع ویشارت توزیع احتمال ماتریس تصادفی p×p است:

S=X^{T}X\,\!

که با نام ماتریس پراکندگی نیز مشهور است. می‌توان این توزیع را به صورت زیر نشان داد:

S\sim W_{p}(V,n).

عدد n درجهٔ آزادی توزیع نامیده می‌شود. به ازای مقادیر n ≥ p ماتریس S با احتمال ۱ معکوس خواهد داشت. به ازای p = 1 و V = 1 این توزیع کی‌دو با درجهٔ آزادی n است.

جستارهای وابسته

منابع

↑ Wishart, J. (1928). "The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population". Biometrika. 20A (1–2): 32–52. doi:10.1093/biomet/20A.1-2.32. JFM 54.0565.02. JSTOR 2331939.

[Wishart-1] Wishart, J. (1928). "The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population". Biometrika. 20A (1–2): 32–52. doi:10.1093/biomet/20A.1-2.32. JFM 54.0565.02. JSTOR 2331939.

پارامترها	$n>p-1\!$ درجه آزادی (آمار) (عدد حقیقی) $\mathbf {V} >0\,$ تجانس (هندسه) ( $p\times p$ pos. def)
تکیه‌گاه	$\mathbf {X} \!$ $p\times p$ positive definite matrix
تابع چگالی احتمال	${\frac {1}{2^{\frac {np}{2}}\left\|{\mathbf {V} }\right\|^{\frac {n}{2}}\Gamma _{p}({\frac {n}{2}})}}{\left\|\mathbf {X} \right\|}^{\frac {n-p-1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}{\rm {tr}}({\mathbf {V} }^{-1}\mathbf {X} )}$ $\Gamma _{p}$ is the multivariate gamma function $\mathrm {tr}$ is the اثر (ماتریس) function
میانگین	$n\mathbf {V}$
مُد	$(n-p-1)\mathbf {V} {\text{ for }}n\geq p+1$
واریانس	$\operatorname {Var} (\mathbf {X} _{ij})=n(v_{ij}^{2}+v_{ii}v_{jj})$
آنتروپی	see below
تابع مشخصه	$\Theta \mapsto \left\|{\mathbf {I} }-2i\,{\mathbf {\Theta } }{\mathbf {V} }\right\|^{-n/2}$