گروه حل‌پذیر

به‌طور تاریخی، کلمه «حل‌پذیر» از نظریه گالوا و اثبات حل ناپذیری معادلات چندجمله‌ای درجه پنج در حالت کلی سر برمی‌آورد. بخصوص، یک معادله چندجمله‌ای برحسب رادیکال‌ها حل‌پذیر است اگر و تنها اگر گروه گالوای متناظر با آن نیز حل‌پذیر باشد (توجه کنید که این قضیه تنها زمانی که میدان دارای مشخصه ۰ باشد برقرار است). یعنی با هر چندجمله‌ای ${\displaystyle f\in F[x]}$

${\displaystyle F=F_0\subset F_1\subset F_2\subset \cdots \subset F_m=K}$

چنان‌که:

1. ${\displaystyle F_i=F_{i-1}[{\alpha }_i]}$
   ، که در آن ${\displaystyle {\alpha }_i^{m_i}\in F_{i-1}}$
   ، چنان‌که ${\displaystyle {\alpha }_i}$
   جوابی به معادله ${\displaystyle x^{m_i}-a}$
   است که در آن ${\displaystyle a\in F_{i-1}}$
   است.
2. ${\displaystyle F_m}$
   شامل میدان شکافنده ای برای ${\displaystyle f(x)}$
   است.