توسیع گروهی

در ریاضیات، توسیع گروهی (به انگلیسی: Group Extension) (یا توسیع گروه)، روشی کلی برای توصیف یک گروه بر حسب زیرگروه نرمال و گروه خارج قسمتی به خصوصی است. اگر Q و N دو گروه باشند، آنگاه G توسیعی از Q توسط N است اگر وجود داشته باشد دنباله دقیقی به صورت زیر:

${\displaystyle 1\to N\stackrel{\iota }{\to }G\stackrel{\pi }{\to }Q\to 1.}$

اگر G توسیعی از Q توسط N باشد، آنگاه G گروه و ${\displaystyle \iota (N)}$

از آنجا که هر گروه متناهی چون G دارای زیرگروه نرمال ماکسیمالی چون N است، و ازین رو گروه خارج قسمتی ${\displaystyle G/N}$

توسیع گروهی را یک توسیع مرکزی نامند اگر زیرگروه N در مرکز گروه G قرار داشته باشد.