بافه (ریاضیات)

در ریاضیات، بافه (به انگلیسی: Sheaf) ابزاری برای ردگیری سازمان‌یافته‌ی اطلاعات موضعی تعریف شده و الصاق شده به مجموعه های باز یک فضای توپولوژیکی است. این داده ها را می توان به مجموعه های باز کوچکتری تحدید کرد، و داده های مربوط به یک مجموعه باز معادل کل گردایه داده‌های سازگار مربوط به مجموعه های باز کوچکتری است که مجموعه قبلی را می پوشانند. به عنوان مثال، چنین داده هایی می تواند شامل حلقه توابع پیوسته یا حقیقی-مقدار همواری باشد که روی هر مجموعه باز تعریف شده است. طراحی بافه ها به گونه ای است که اشیائی کلی و مجرد باشند، به گونه ای که تعریف صحیحشان تکنیکی و فنی می شود. آن ها را می توان به طرق مختلفی تعریف کرد، به عنوان مثال، بسته به این که بافه مورد نظر اطلاعات مجموعه ها را در خود نهفته باشد یا حلقه‌ها، تعریف متفاوتی می تواند داشته باشد.

همچنین نگاشت هایی (یا ریخت هایی) از یک بافه به دیگری می توان تعریف کرد، لذا بافه ها (بافه هایی از نوع خاص، مثلا بافه گروه های آبلی) به همراه ریخت هایشان تشکیل یک رسته می دهند. از سوی دیگر، به هر نگاشت پیوسته هم یک فانکتور تصویر مستقیم نظیر می شود که هر بافه و ریخت هایش را در دامنه به بافه ها و ریخت های متناظر در هم‌دامنه نظیر می کند، و هم یک فانکتور تصویر معکوس که در جهت مخالف عمل می کند. چنین فانکتور ها و انواع مشابه آن بخش مهمی را در نظریه بافه‌ها اشغال می کنند.

بافه ها به دلیل طبیعت عمومی و تنوعشان کاربردهای متعددی در توپولوژی و به‌خصوص هندسه جبری و دیفرانسیل پیدا کرده اند. اول این که ساختار های هندسی چون منیفلد دیفرانسیل یا یک اسکیم را می توان بر حسب یک بافه از حلقه ها روی آن فضا تعریف کرد. در چنین بسترهایی، سازه‌های هندسی متعددی چون کلاف های برداری یا مقسوم‌علیه ها (مفهومی مربوط به هندسه جبری) را می توان به طور طبیعی بر حسب بافه ها تعریف کرد. دوم این که بافه‌ها چارچوبی برای نظریات کوهمولوژی بسیار عام‌تر فراهم می‌کنند، چنین نظریه عامی شامل نظریات کوهمولوژی "معمولی" مثل کوهمولوژی تکین هم می شود. به‌خصوص کوهمولوژی بافه در هندسه جبری و نظریه منیفلدهای مختلط، ارتباط مستحکمی بین خواص توپولوژیکی و هندسی فضاها ایجاد می کند. بافه‌ها همچنین پایه ای برای نظریه D-مدول‌ها فراهم می آورد که در نظریه معادلات دیفرانسیل کاربرد دارد. به علاوه، تعمیم بافه ها به چیدمان‌هایی فراتر از فضاهای توپولوژیکی، چون توپولوژی گروتندیک، کاربردهایی را در منطق ریاضی و نظریه اعداد ارائه داده است.

تعریف

فرض کنید فضای توپولوژیک $X$

و یک رسته

C

داده شده‌است. در این حال، می‌توان رسته زیر مجموعه‌های باز

X

را این‌گونه تعریف کرد که عبارت است از رسته‌ای که آن را

O(X)

می‌نامیم و اشیا آن زیرمجموعه‌های باز

X

و ریخت‌های این رسته نگاشتهای شمول در میان مجموعه‌های باز هستند. به زبان دیگر اگر

U

و

V

دو زیرمجموعه باز

X

باشند و

V\subseteq U

، آنگاه یک ریخت در

O(X)

عبارت است از یک نگاشت یک به یک

V\hookrightarrow U

. یک پیش بافه روی

X

با مقادیر در

C

عبارت است از یک عملگر پادجهت

F

از رسته

O(X)

به رسته

C

. به سخن دیگر، یک پیش بافه معادل است با:

۱. برای هر زیرمجموعه باز $U\subseteq X$

یک شی

F(U)

در رسته

C

.

۲. برای هر شمول $V\subseteq U$

یک ریخت

res_{V,U}:F(U)\to F(V)

به نام نگاشت تحدید به گونه‌ای که:

برای هر مجموعه باز $U\subseteq X$ نگاشت $res_{U,U}:F(U)\to F(U)$ برابر با نگاشت همانی $id_{F(U)}$ است.
برای هر سه زیرمجموعه باز با رابطه $W\subseteq V\subseteq U$ ، داشته باشیم: $res_{W,V}\circ res_{V,U}=res_{W,U}$ .

رسته $C$

معمولاً یکی از رسته‌های مجموعه‌ها، گروه‌های آبلی یا حلقه‌ها است و نگاشت‌های

res_{V,U}

نیز به ترتیب تابع‌ها، همریختی‌های گروهی یا همریختی‌های حلقه‌ای هستند.

اگر $F$

یک پیش بافه روی

X

باشد، منظور از یک مقطع

F

روی

U

، یک عضو

s\in F(U)

می‌باشد. همچنین اگر

s\in F(U)

یک مقطع روی

U

باشد، برای آسانی نوشتار از نویسه

s|_{V}

به جای

res_{V,U}(s)

بهره می‌گیریم.

اکنون ابزارهای لازم برای تعریف بافه را در دست داریم:

تعریف (بافه): یک بافه $F$

روی فضای توپولوژیک

X

عبارت است از یک پیش بافه روی

X

که شرایط اضافی زیر را ارضا می‌کند:

۱. (موضعی بودن): اگر $\{U_{i}\}$

یک پوشش باز

X

باشد و اگر

s,t\in F(U)

به گونه‌ای باشند که

s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}

برای هر

U_{i}

آنگاه

s=t

.

۲. (ویژگی چسبندگی): اگر $\{U_{i}\}$

یک پوشش باز

X

باشد و برای هر

i

یک مقطع

s_{i}\in F(U_{i})

داده شده باشد که برای هر

U_{i}

و

U_{j}

از این پوشش، داشته باشیم:

s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}

، آنگاه یک مقطع

s\in F(U)

وجود دارد که:

s|_{U_{i}}=s_{i}

برای هر

i

.

نمونه‌ها

اگر $X$ یک فضای توپولوژیک دلخواه باشد، بافه تابع‌ها روی $X$ بافه‌ای است که به هر زیرمجموعه باز $U$ مجموعه تابع‌های حقیقی روی $U$ را نظیر می‌کند یعنی $F(U)=\{f|f:U\to \mathbb {R} \}$ و نگاشت تحدید $res_{V,U}$ در اینجا همان تحدید تابع‌ها است. به دیگر سخن اگر $f\in F(U)$ تابعی روی $U$ باشد و $V\subseteq U$ آنگاه $res_{V,U}(f)=f|_{V}\in F(V)$ و چون $f$ تابعی روی $U$ است، بنابر تعریف: $res_{V,U}(f)=f|_{V}\in F(V)$ .
اگر $\mathbb {C}$ فضای توپولوژیک اعداد مختلط باشد، بافه توابع هولومورف روی $\mathbb {C}$ که آن را با ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }$ نشان می‌دهیم عبارت است از بافه‌ای که به هر زیر مجموعه باز ناتهی $U\subseteq \mathbb {C}$ مجموعه تابعهای هولومورف روی $U$ را نسبت می‌دهد. در این جا، $res_{V,U}$ همان تحدید تابع‌ها می‌باشد. به زبان دیگر اگر $f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }(U)$ تابعی هولومورف روی $U$ باشد و $V\subseteq U$ آنگاه: $res_{V,U}(f)=f|_{V}$ و چون $f$ تابعی هولومورف است تحدید آن به زیر مجموعه $V$ هم هولومورف خواهد بود یعنی $res_{V,U}(f)=f|_{V}\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }(V)$ .

ریخت‌ها

میان هر دو بافه، می‌توان یک ریخت تعریف کرد. اگر ${\mathcal {F}}$

و

{\mathcal {G}}

دو بافه روی

X

باشند، یک ریخت

\varphi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}

عبارت است از:

برای هر زیرمجموعه باز $U\subseteq X$ ، یک ریخت $\varphi (U):{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)$ در رسته $C$ .
برای هر شمول $V\subseteq U$ ، رابطه $res_{V,U}^{\mathcal {G}}\circ \varphi (U)=\varphi (V)\circ res_{V,U}^{\mathcal {F}}$ برقرار است.

در اینجا، $res_{V,U}^{\mathcal {F}}$

نگاشت تحدید

{\mathcal {F}}

و

res_{V,U}^{\mathcal {G}}

نگاشت تحدید

{\mathcal {G}}

است.

بافه‌سازی

در حالت کلی پیش بافه‌ها، بافه نیستند. یعنی می‌توان پیش بافه‌هایی را یافت که شرایط اضافی بافه بودن را رعایت نمی‌کنند. برای نمونه روی $\mathbb {R}$

، نگاشتی که به هر زیرمجموعه باز

U\subseteq \mathbb {R}

گروه آبلی

\mathbb {Z}

را نسبت می‌دهد یک پیش بافه است ولی یک بافه نیست. دلیل این امر این است که اگر مجموعه باز

U=U_{1}\cup U_{2}

را با

U_{1}=(1,2)

و

U_{2}=(3,4)

در نظر بگیریم، مقطع

5

روی

U_{1}

و مقطع

7

روی

U_{2}

را نمی‌توان به هم چسباند. به همین دلیل تلاش می‌شود که به هر پیش بافه، یک بافه نسبت داده شود و به این روند، بافه سازی گفته می‌شود. به زبان دیگر اگر

F

یک پیش بافه روی

X

باشد، می‌توان یک بافه

F^{+}

روی

X

ساخت که برای هر بافه

G

روی

X

، مجموعه ریخت‌های پیش بافه‌ای

F\to G

با مجموعه ریخت‌های بافه‌ای

F^{+}\to G

برابر شود. به دیگر سخن:

Hom_{sheaf}(F^{+},G)=Hom_{presheaf}(F,G)

یادداشت‌ها

منابع

Bredon, Glen E. (1997), Sheaf theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 170 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94905-5, MR 1481706 (oriented towards conventional topological applications)
Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Paris: Hermann, MR 0345092
Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal, Second Series, 9: 119–221, doi:10.2748/tmj/1178244839, ISSN 0040-8735, MR 0102537
Hirzebruch, Friedrich (1995), Topological methods in algebraic geometry, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58663-0, MR 1335917 (updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power)
Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (1994), Sheaves on manifolds, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 292, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-51861-7, MR 1299726 (advanced techniques such as the derived category and vanishing cycles on the most reasonable spaces)
Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1994), Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2, MR 1300636 (category theory and toposes emphasised)
Martin, William T.; Chern, Shiing-Shen; Zariski, Oscar (1956), "Scientific report on the Second Summer Institute, several complex variables", Bulletin of the American Mathematical Society, 62 (2): 79–141, doi:10.1090/S0002-9904-1956-10013-X, ISSN 0002-9904, MR 0077995
J. Arthur Seebach, Linda A. Seebach & Lynn A. Steen (1970) "What is a Sheaf", American Mathematical Monthly 77:681–703 MR 0263073.
Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" (PDF), Annals of Mathematics, Second Series, 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969915, MR 0068874, archived from the original (PDF) on 17 July 2011, retrieved 6 اكتبر 2019
Swan, Richard G. (1964), The Theory of Sheaves, University of Chicago Press (concise lecture notes)
Tennison, Barry R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390 (pedagogic treatment)