معادله مکعبی

معادلات درجه سوم توسط ریاضی‌دان یونان باستان، دیوفانت شناخته شده بود، پیش از ریاضی‌دانان بابِل که قادر به حل برخی معادلات درجه سوم بودند و نیز مصریان باستان. مسئله تضعیف مکعب ساده‌ترین و قدیمی‌ترین معادله درجه سوم مطالعه شده‌است که مصریان باستان حل آن را ناممکن می‌دانستند. در قرن هفتم، منجم دودمان تانگ وانگ سیائوتونگ (Wang Xiaotong) توانست ۲۵ معادله درجه سوم به صورت ${\displaystyle x^3+p{x}^2+qx=N}$

معادله درجه سوم در حالت کلی به شکل زیر است:

${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0}$

که باید ${\displaystyle a\ne 0.}$

نوع ریشه‌ها

با یافتن عبارت

${\displaystyle \mathrm{\Delta }=18abcd-4b^{3}d+b^2{c}^2-4a{c}^3-27a^2{d}^2}$

می‌توان نوع ریشه‌های این معادله را معین کرد:

• اگر ${\displaystyle \mathrm{\Delta }>0}$
  معادله سه ریشهٔ مجزای حقیقی دارد.
• اگر ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=0}$
  معادله یک ریشهٔ مضاعف دارد و ریشه‌ها همه حقیقی هستند.
• اگر
  معادله یک ریشهٔ حقیقی و دو ریشهٔ مختلط دارد.

فرمول کلی ریشه‌ها

برای معادلهٔ

${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0}$

فرمول کلی ریشه‌ها چنین است:

${\displaystyle x_k=-\frac{1}{3a}\left(b+u_{k}C+\frac{{\mathrm{\Delta }}_0}{u_{k}C}\right),k\in \{1,2,3\}}$

که در آن

${\displaystyle u_1=1,u_2=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},u_3=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}$

ریشه‌های واحد (مختلط) هستند و نیز

${\displaystyle C=\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{\Delta }}_1+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_1^2-4{\mathrm{\Delta }}_0^3}}{2}}.}$

${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0=b^2-3ac}$

${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1=2b^3-9abc+27a^{2}d}$

${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1^2-4{\mathrm{\Delta }}_0^3=-27a^2\mathrm{\Delta },}$

هستند. عبارت ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$

• ویکی انگلیسی