جدول‌های مثلثات

نخستین روش تهیهٔ جدول‌های مثلثاتی از نظر تاریخی و متداول‌ترین روش تا پیش از توسعهٔ رایانه‌ها، اعمال پیاپی اتحادهای نصف زاویه و جمع دو زاویه با آغاز از یک مقدار معلوم (مانند مقادیر زاویهٔ قائمه) بود. نخستین فردی که این اتحادها را در ساخت جدول مثلثاتی به کار برد، بطلمیوس بود. رابطه‌هایی که به این منظور به کار می‌روند، شامل اتحادهای زیر هستند:

${\displaystyle \cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1+\cos x)}}}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)}}}$

${\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\,}$

${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\,}$

یک الگوریتم تقریبی برای ساختن جدول‌های مثلثاتی توابع سسینوس و کسینوس، استفاده پیاپی از رابطه‌های زیر است:

که در آن‌ها n عددی صحیح بین صفر و N-۱ است. c و s به ترتیب نشان دهنده کسینوس و سینوس، N تعداد مقدارهای محاسبه شده و d = ۲π/N هستند. این روش تقریبی، بر پایه روش اویلر برای حل معادله دیفرانسیل به صورت انتگرالی:

با شرایط اولیه s(0) = 0 و c(0) = 1 انجام می‌شود.

این الگوریتم روش مناسبی برای ساختن جدول سینوس نیست. زیرا خطای قابل توجهی دارد که متناسب با ۱/N است. برای نمونه، اگر N برابر ۲۵۶ باشد، بیشینه خطای تخمین سینوس حدود ۰٫۰۶۱ و اگر ۱۰۲۴ باشد، بیشینه خطا حدود ۰٫۰۱۵ است.

یک رابطه بازگشتی برای تولید جدول‌های مثلثاتی بر پایه فرمول اویلر و رابطه

به صورت زیر تعریف می‌شود:

که در آن‌ها n عددی صحیح بین صفر و N-۱ است. هم‌چنین w_r=cos۲π/N و w_i=sin۲π/N هستند. این دو مقدار اولیه معمولاً با استفاده از تابع‌های کتابخانه‌ای موجود، محاسبه می‌شوند. با افزایش تعداد جملات، خطا نیز افزایش می‌یابد.

برای بهبود روش بالا، اصلاحات زیر انجام می‌شود.

که در آن α=sin ۲π/N و β=sin۲π/N. خطای این روش، بسیار کمتر است. ولی هم‌چنان به اندازه‌ای هست که دقت روش‌های سریع مانند تبدیل فوریه سریع را در اندازه‌های بزرگ، کاهش دهد.

• تحلیل عددی
• CORDIC
• مقدارهای دقیق مثلثاتی