مدل خودهمبسته

عبارت (AR(p به مدل خودهمبستهٔ مرتبهٔ p اشاره دارد و به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle X_t=c+\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}+{\epsilon }_t}$

که ${\displaystyle {\phi }_1,\dots ,{\phi }_p}$

اعمال برخی محدودیت‌ها بر پارامترهای این مدل، برای فرایند مانا بودن آن الزامی است. برای مثال فرایند (AR(۱ با φ_۱| ≥ ۱| مانا نخواهد بود. به صورت کلی‌تر، برای اینکه مدل (AR(p مانا باشد، ریشه‌های چندجمله‌ای ${\displaystyle z^p-\sum _{i=1}^p{\phi }_i{z}^{p-i}}$

یک فرایند (AR(۱ به صورت زیر داریم:

${\displaystyle X_t=c+\phi X_{t-1}+{\epsilon }_t}$

که ${\displaystyle {\epsilon }_t}$

${\displaystyle \text{E}(X_t)=\text{E}(c)+\phi \text{E}(X_{t-1})+\text{E}({\epsilon }_t)\Rightarrow \mu =c+\phi \mu +0}$

و در نتیجه:

${\displaystyle \mu =\frac{c}{1-\phi }}$

به صورت خاص اگر ${\displaystyle c=0}$

${\displaystyle \text{var}(X_t)=E(X_t^2)-{\mu }^2=\frac{{\sigma }_{\epsilon }^2}{1-{\phi }^2}}$

که ${\displaystyle {\sigma }_{\epsilon }}$

${\displaystyle B_n=E(X_{t+n}{X}_t)-{\mu }^2=\frac{{\sigma }_{\epsilon }^2}{1-{\phi }^2}{\phi }^{|n|}}$

تابع اتوکواریانس با ثابت زمانی ${\displaystyle \tau =-1/\ln (\phi )}$

تابع چگالی طیفی، تبدیل فوریه تابع اتوکواریانس خواهد بود. در شرایط گسسته، تبدیل فوریه گسسته زمان تابع اتوکواریانس برابر خواهد بود با:

${\displaystyle \mathrm{\Phi }(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{B}_n{e}^{-i\omega n}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\left(\frac{{\sigma }_{\epsilon }^2}{1+{\phi }^2-2\phi \cos (\omega )}\right)}$

این عبارت به علت ساختار گسستهٔ ${\displaystyle X_j}$

اگر فرض کنیم که زمان نمونه‌برداری (${\displaystyle \mathrm{\Delta }t=1}$

${\displaystyle \mathrm{\Phi }(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{{\sigma }_{\epsilon }^2}{1-{\phi }^2}\frac{\gamma }{\pi ({\gamma }^2+{\omega }^2)}}$

که ${\displaystyle \gamma =1/\tau }$

${\displaystyle X_t=c\sum _{k=0}^{N-1}{\phi }^k+{\phi }^N{X}_{t-N}+\sum _{k=0}^{N-1}{\phi }^k{\epsilon }_{t-k}}$

با میل کردن N به سمت بینهایت، ${\displaystyle {\phi }^N}$

${\displaystyle X_t=\frac{c}{1-\phi }+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^k{\epsilon }_{t-k}}$

در آن صورت ${\displaystyle X_t}$

مدل (AR(p با معادلهٔ زیر داریم:

${\displaystyle X_t=\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}+{\epsilon }_t}$

یک تناظر مستقیم میان پارامترهای ${\displaystyle {\phi }_1,\dots ,{\phi }_p}$

${\displaystyle {\gamma }_m=\sum _{k=1}^p{\phi }_k{\gamma }_{m-k}+{\sigma }_{\epsilon }^2{\delta }_{m,0}}$

که با p + 1، m = 0, ... , p معادله خواهیم داشت. ${\displaystyle {\gamma }_m}$

از آنجا که قسمت آخر معادله، ${\displaystyle {\delta }_{m,0}}$

برای m = ۰ داریم:

${\displaystyle {\gamma }_0=\sum _{k=1}^p{\phi }_k{\gamma }_{-k}+{\sigma }_{\epsilon }^2}$

که به اما اجازه می‌دهد ${\displaystyle {\sigma }_{\epsilon }^2}$

معادلات بالا، معادلات یول-واکر، از طریق جایگزین کردن کواریانس‌های نظری با مقادیر تخمین زده شده، یک مسیر برای تخمین پارامترهای مدل (AR(p فراهم می‌کنند. یک راه برای محاسبهٔ کواریانس‌های تخمین زده شده استفاده از برازش حداقل مربعات، رگرسیون خطی، مقادیرX_t بر p مقدار قبلی خود می‌باشد.

معادلهٔ معرف فرایند (AR(p:

${\displaystyle X_t=\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}+{\epsilon }_t.}$

با ضرب هر دو طرف معادله در X_t − m و گرفتن امید انتظاری خواهیم داشت:

${\displaystyle E[X_t{X}_{t-m}]=E\left[\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}{X}_{t-m}\right]+E[{\epsilon }_t{X}_{t-m}].}$

بنابر تعریف تابع خودهمبستگی داریم: ${\displaystyle E[X_t{X}_{t-m}]={\gamma }_m}$

${\displaystyle E[{\epsilon }_t{X}_t]=E\left[{\epsilon }_t\left(\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}+{\epsilon }_t\right)\right]=\sum _{i=1}^p{\phi }_{i}E[{\epsilon }_t{X}_{t-i}]+E[{\epsilon }_t^2]=0+{\sigma }_{\epsilon }^2,}$

برای m ≥ ۰ داریم:

${\displaystyle {\gamma }_m=E\left[\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}{X}_{t-m}\right]+{\sigma }_{\epsilon }^2{\delta }_m.}$

بعلاوه داریم:

${\displaystyle E\left[\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}{X}_{t-m}\right]=\sum _{i=1}^p{\phi }_{i}E[X_t{X}_{t-m+i}]=\sum _{i=1}^p{\phi }_i{\gamma }_{m-i},}$

از جایگذاری معادلهٔ بالا در معادلهٔ ${\displaystyle {\gamma }_m}$

${\displaystyle {\gamma }_m=\sum _{i=1}^p{\phi }_i{\gamma }_{m-i}+{\sigma }_{\epsilon }^2{\delta }_m.}$

برای m <0 داریم:

${\displaystyle {\gamma }_m={\gamma }_{-m}=\sum _{i=1}^p{\phi }_i{\gamma }_{|m|-i}+{\sigma }_{\epsilon }^2{\delta }_m.}$

• Mills, Terence C. Time Series Techniques for Economists. Cambridge University Press, 1990.
• Percival, Donald B. and Andrew T. Walden. Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge University Press, 1993.
• Pandit, Sudhakar M. and Wu, Shien-Ming. Time Series and System Analysis with Applications. John Wiley & Sons, Inc. , 1983.
• G. Udny Yule On a Method of Investigating Periodicities in Disturbed Series, with Special Reference to Wolfer's Sunspot Numbers Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Ser. A, Vol. 226, (1927) 267--298.
• Gilbert Walker On Periodicity in Series of Related Terms, Proceedings of the Royal Society of London, Ser. A, Vol. 131, (1931) 518--532.