دلتای کرونکر

تابع دلتای کرونکر (به انگلیسی: Kronecker delta) تابعی با دو متغیر نامگذاری شده به نام ریاضیدان آلمانی لئوپولد کرونکر، و به صورت زیر تعریف می‌شود:

\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=j\\0,&{\mbox{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.

بدین معنی که اگر دو متغیر با هم برابر بودند مقدار دلتا ۱، و در غیر این صورت مقدار آن صفر خواهد بود. به عنوان مثال $\delta _{23}=0$

است و مقدار

\delta _{44}=1

خواهد بود. گاهی در جبر خطی و در حساب تانسورها دو متغیر را به صورت مختصه بالا و پائین نمایش می‌دهند:

\delta _{j}^{i}

.

این تابع در جبر خطی و بخصوص حساب تانسورها و ماتریس‌ها کاربردهای فراوانی دارد و به ساده سازی محاسبات کمک شایانی می‌کند.

ویژگی‌ها

اگر $j\in \mathbb {Z}$

باشد خواهیم داشت:

\sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}.

می‌توان تابع دلتای دو متغیره را تعمیم داد:

\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}=\prod _{k=1}^{n}\delta _{i_{k}j_{k}}.

بدین معنی که اگر تمام مختصه‌های بالا با متناظر مختصه‌های پائین شان برابر بود دلتا برابر 1، و در غیر این صورت برابر صفر خواهد بود.