چگالی طیفی

هر سیگنالی را که بتوان به صورت متغیری نمایش داد که در زمان تغییر می‌کند، یک طیف فرکانسی متناظر دارد. این موضوع شامل موجودیت‌های آشنایی مثل نور قابل مشاهده (که به صورت رنگ درک می‌شود)، نت موسیقی (که به صورت زیروبمی درک می‌شود)، رادیو/تلویزیون (که توسط فرکانس شان، یا گاهی توسط طول‌موج تعیین می‌شود) و حتی چرخش منظم زمین می‌شود. موقعی که این سیگنال‌ها به حالت یک طیف فرکانسی دیده شوند، جنبه‌های معینی از سیگنال دریافتی یا فرایندهای زیرین تولیدکننده آن‌ها آشکار می‌شود. در بعضی از حالات طیف فرکانسی دارای یک قله مجزا است که با یک مولفه موج سینوسی متناظر است. و بعلاوه ممکن است قله‌هایی متناظر با هارمونیک‌های یک قله اصلی وجود داشته باشد، که نشان‌دهنده یک سیگنال تناوبی است که یک سینوسی ساده نیست. یا یک طیف پیوسته می‌تواند بازه‌های فرکانسی باریک را نشان دهد که متناظر با تشدید (رزونانس) به صورت قوی افزایش می‌یابد، یا بازه‌های فرکانسی شامل توان تقریباً صفر باشند که توسط یک فیلتر شکافی تولید شده‌اند.

در فیزیک، سیگنال می‌تواند یک موج باشد، مثل یک موج الکترومغناطیسی، یک موج صوتی یا اینکه ارتعاش یک مکانیزم باشد. چگالی طیف توانی (PSD) برای سیگنال، توصیف‌کننده توان موجود در سیگنال به صورت تابعی از فرکانس در واحد فرکانس است. چگالی طیف توانی معمولاً به صورت وات به ازای هرتز (W/Hz) بیان می‌شود.

موقعی که یک سیگنال مثلا از دیدگاه ولتاژ، تعریف شده‌است، هیچ توان یکتایی مرتبط با دامنه بیان شده وجود ندارد. در این حالت، «توان» به سادگی از دیدگاه مربع سیگنال حساب می‌شود، همان‌طور که این با توان واقعی تحویل شده توسط آن سیگنال به یک امپدانس معین متناسب است. از این رو می‌توان از واحدهای V Hz برای PSD استفاده کنیم و از V s Hz برای ESD (چگالی طیف انرژی energy spectral density) استفاده کنیم، اگرچه هیچ «توان» یا «انرژی» واقعی تعیین نشده‌است.

بعضی اوقات به یک چگالی طیفی دامنه (ASD) (amplitude spectral density) برخورد می‌کنیم، که جذر دوم PSD است؛ ASD برای سیگنال ولتاژ واحد V Hz دارد. این موضوع موقعی مفید است که بیشتر شکل طیف ثابت است، زیرا آنوقت تغییرات در ASD با تغییرات در خود مرحله ولتاژ سیگنال متناسب است. اما از نظر ریاضیاتی استفاده از PSD ترجیح دارد، زیرا تنها در آن حالت مساحت زیر منحنی از لحاظ توان واقعی تحت همه فرکانس‌ها یا تحت پهنای‌باند معین معنی‌دار است.

در حالت معمول، واحد PSD همان نسبت واحدهای واریانس در واحد فرکانس است؛ از این رو، مثلا، سری‌های مقادیر جابجایی (در متر) روی زمان (در ثانیه) دارای PSD در واحد m/Hz خواهد بود. برای تحلیل ارتعاش تصادفی، به صورت مکرر از واحدهای g Hz برای شتاب PSD استفاده می‌شود. در اینجا g نشان‌دهنده نیروی گرانش است.

از نظر ریاضیاتی، نیازی به انتساب ابعاد فیزیکی به سیگنال یا متغیر مستقل نیست. و در بحثی که در ادامه می‌آید، معنی x(t) نامعین می‌ماند، اما فرض می‌شود که متغیر مستقل، زمان است.

چگالی طیف انرژی

چگالی طیف انرژی توصیف کننده روشی است که انرژی یک سیگنال یا یک سری زمانی در طول فرکانس توزیع می‌شود. در اینجا، اصطلاح انرژی در مفهوم عمومی‌اش در پردازش سیگنال استفاده شده‌است؛ یعنی، انرژی ${\displaystyle E}$

${\displaystyle E\triangleq {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x(t){|}^{2}dt.}$

چگالی طیف انرژی برای موارد گذرا بسیار مناسب است-یعنی، سیگنال‌های شبیه پالس، که در آن موقع انرژی کلی محدودی دارد. چه محدود باشد یا نباشد، قضیه پارسوال، (یا قضیه پلانچرل) به ما یک عبارت جایگزین برای انرژی سیگنال می‌دهد:

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x(t){|}^{2}dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|\hat{x}(f){|}^{2}df,}$

که در آن:

${\displaystyle \hat{x}(f)\triangleq {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i2\pi ft}x(t)dt}$

مقدار تبدیل فوریه ${\displaystyle x(t)}$

تابع ${\displaystyle {\overline{S}}_{xx}(f)}$

به عنوان یک مثال فیزیکی از اینکه چگونه می‌توان چگالی طیف انرژی یک سیگنال را اندازه‌گرفت، فرض کنید که ${\displaystyle V(t)}$

این تعریف به روش مستقیم به سیگنال گسسته با تعداد قابل شمارش نامتناهی مقایر ${\displaystyle x_n}$

${\displaystyle {\overline{S}}_{xx}(f)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(\mathrm{\Delta }t{)}^2\underset{|{\hat{x}}_d(f){|}^2}{\underbrace{{\left|\sum _{n=-N}^N{x}_n{e}^{-i2\pi fn\mathrm{\Delta }t}\right|}^2}},}$

در اینجا ${\displaystyle {\hat{x}}_d(f)}$

چگالی طیف توانی

تعریف بالا برای چگالی طیف انرژی، برای حالت گذرا (سیگنال‌های مشابه پالس) مناسب است، که در آن انرژی در حول یک پنجره زمانی متمرکز شده‌است؛ در آنصورت تبدیل‌های فوریه برای سیگنال‌ها معمولاً وجود دارد. برای سیگنال‌های پیوسته روی همه زمان، به صورت جایگزین باید چگالی طیفی توان (PSD) را تعریف کرد، که این تعریف برای فرایندهای مانا وجود دارد؛ این موضوع توصیف می‌کند که چگونه توان یک سیگنال یا سری زمانی روی فرکانس توزیع شده‌است، مثل مثال ساده‌ای که در قبل داشتیم. در اینجا، توان می‌تواند توان فیزیکی واقعی باشد، یا به صورت معمول‌تر، برای سادگی با سیگنال‌های انتزاعی، به سادگی توسط مقدار مجذور سیگنال شناسایی شود. برای مثال، آماردانان واریانس یک تابع را روی زمان (یا روی متغیر مستقل دیگر) ${\displaystyle x(t)}$

توان میانگین ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_{t_0-T/2}^{t_0+T/2}|x(t){|}^{2}dt}$

با این حال، به خاطر تعامل با ریاضیاتی که در ادامه می‌آید، ساده‌تر است که با حدود زمانی موجود در خود سیگنال به جای حدود زمانی موجود در مرزهای انتگرال سروکار داشته باشیم. از این رو، ما یک نمایش جایگزین برای توان میانگین داریم که در آن ${\displaystyle x_T(t)=x(t)w_T(t)}$

${\displaystyle P=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x_T(t){|}^{2}dt}$

به صورت واضح، در حالاتی که عبارت بالا برای P غیرصفر است (حتی وقتیکه T به صورت بدون مرز افزایش می‌یابد) خود انتگرال هم باید بدون مرز افزایش بیابد. این همان دلیلی است که ما نمی‌توانیم از خود چگالی طیف انرژی استفاده کنیم، زیرا انتگرال را در این حالات واگرا می‌کند.

در تحلیل محتوای فرکانس سیگنال ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle P=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|{\hat{x}}_T(f){|}^{2}df}$

آنوقت چگالی طیف توان به صورت ساده به صورت زیرانتگرال بالا تعریف می‌شود.

از اینجا ما می‌توانیم ${\displaystyle |{\hat{x}}_T(f){|}^2}$

${\displaystyle |{\hat{x}}_T(f){|}^2=\mathcal{F}\left\{x_T^{\ast }(-t)\mathbf{\ast }{x}_T(t)\right\}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_T^{\ast }(t-\tau )x_T(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$

اکنون، ما همگشت زمانی بالا را بر دوره ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}|{\hat{x}}_T(f){|}^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left[\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_T^{\ast }(t-\tau )x_T(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$

از اینجا، ما می‌بینیم که دوباره با فرض ارگادیک بودن ${\displaystyle x(t)}$

بیشتر نویسنده‌ها از این معادله برای تعریف واقعی چگالی طیفی توان استفاده می‌کنند.

توان سیگنال در یک باند فرکانسی معین ${\displaystyle [f_1,f_2]}$

${\displaystyle P_{\mathsf{b}\mathsf{a}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{m}\mathsf{i}\mathsf{t}\mathsf{e}\mathsf{d}}=2{\int }_{f_1}^{f_2}{S}_{xx}(f)df}$

به صورت معمول‌تر، فنون مشابهی را می‌توان برای تخمین چگالی طیفی در زمان-متغیر استفاده کرد. در این حالت، بازه زمانی ${\displaystyle T}$

درست مثل چگالی طیفی انرژی، تعریف چگالی طیفی توانی را نیز می‌توان به متغیرهای زمان گسسته ${\displaystyle x_n}$

${\displaystyle S_{xx}(f)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}{T}{\left|\sum _{n=-N}^N{x}_n{e}^{-i2\pi fn\mathrm{\Delta }t}\right|}^2}$

توجه کنید که یک تخمین منفرد از PSD از طریق یک تعداد محدود نمونه‌برداری قابل دستیابی است. مثل قبل، PSD واقعی موقعی به دست می‌آید که ${\displaystyle N}$

اگر دو سیگنال هر دو چگالی طیفی توانی را داشته باشند، آنوقت میان-چگالی طیف را به صورت مشابه می‌توان محاسبه کرد؛ همان‌طور که PSD با خودهمبستگی مرتبط است، چگالی طیف-میانی هم با میان-همبستگی مرتبط است.

ویژگی‌های چگالی طیفی توان

بعضی از ویژگی‌های PSD شامل:

• طیف چگالی همیشه حقیقی و غیرمنفی است، و طیف یک فرایند مقدار حقیقی همچنین یک تابع زوج از فرکانس است: ${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$
  .
• برای یک فرایند تصادفی پیوسته x(t)، تابع خودهمبستگی R_xx(t) را می‌توان از طیف توان S_xx(f) آن با استفاده از وارون تبدیل فوریه به دست آورد.
• به کمک قضیه پارساول، می‌توان واریانس (توان میانگین) برای یک فرایند را به کمک انتگرال‌گیری طیف توانی روی همه فرکانس‌ها محاسبه کرد:

${\displaystyle P=\text{Var}(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{S}_{xx}(f)df}$

• برای یک فرایند حقیقی x(t) با چگالی طیف توان ${\displaystyle S_{xx}(f)}$
  می‌توان طیف انتگرال‌گیری شده یا توزیع طیف توان ${\displaystyle F(f)}$
  را محاسبه کرد، که تعیین‌کننده توان باندمحدود میانگین موجود در فرکانس‌ها از DC تا f است یعنی به کمک:

${\displaystyle F(f)=2{\int }_0^f{S}_{xx}(f^{\prime })d{f}^{\prime }.}$

توجه کنید که عبارت قبل برای توان کلی (واریانس سیگنال) حالت خاصی است که در آن f→∞.

چگالی میان-طیف توان

اگر دو سیگنال ${\displaystyle x(t)}$

به کمک نمادگذاری و روش‌های مشابهی با روش‌هایی که برای استخراج چگالی طیف توان استفاده می‌شوند، ما از قضیه پارساول بهره می‌گیریم و این را به دست می‌آوریم:

${\displaystyle S_{xy}(f)=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}\left[{\hat{x}}_T^{\ast }(f){\hat{y}}_T(f)\right]S_{yx}(f)=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}\left[{\hat{y}}_T^{\ast }(f){\hat{x}}_T(f)\right]}$

که در آن، دوباره، مشارکت‌های ${\displaystyle S_{xx}(f)}$

${\displaystyle S_{xy}(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left[\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_T^{\ast }(t-\tau )y_T(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$

${\displaystyle S_{yx}(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left[\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{y}_T^{\ast }(t-\tau )x_T(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$

که در آن ${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$

${\displaystyle {\mathrm{CPSD}}_{\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$

برای سیگنال‌های گسسته x_n و y_n ارتباط بین میان-چگالی طیف و میان-همبستگی به این صورت است:

${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{xy}({\tau }_n)e^{-i2\pi f{\tau }_n}\mathrm{\Delta }\tau }$

هدف از تخمین چگالی طیف همان تخمین چگالی طیفی برای یک سیگنال تصادفی از ترتیبی از نمونه‌های زمانی است. بسته به آنکه چه چیزی را دربارهٔ سیگنال می‌دانیم، فنون تخمین می‌تواند شامل دیدگاه‌های پارامتری یا بدون-پارامتر باشد، و همچنین می‌تواند بر اساس تحلیل دامنه-زمان یا دامنه-فرکانس باشد. برای مثال، یک فن پارامتری معمول شامل متناسب‌سازی مشاهدات با یک مدل خودهمبسته است. یک فن بدون-پارامتر معمول دوره‌سنج (periodogram) است.

چگالی طیفی معمولاً توسط روش‌های تبدیل فوریه (مثل روش ولچ) تخمین زده می‌شود، اما از دیگر فنون مثل روش آنتروپی حداکثری نیز می‌توان استفاده کرد.

• گرانیگاه طیفی یک سیگنال برابر نقطه میانی تابع چگالی طیفی آن است، یعنی آن فرکانسی است که توزیع را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.
• فرکانس حاشیه طیفی برای یک سیگنال یک گسترش برای مفهوم قبل به هر نسبت بجای دو قسمت برابر است.
• چگالی طیفی یک تابع از فرکانس، و نه تابعی از زمان است. با این حال، چگالی طیفی از یک پنجره کوچک از یک سیگنال بزرگتر را می‌توان محاسبه کرد، و دربرابر زمان مرتبط با پنجره ترسیم کرد. به این گراف طیف‌نگاره (spectrogram) گفته می‌شود. این موضوع مبنایی برای تعدادی از فنون تحلیل طیفی مثل تبدیل فوریه زمان-کوتاه و موجک است.
• یک «طیف» معمولاً به معنی چگالی طیف توان، به صورت توضیح داده شده در بالا است، که توزیع محتوای سیگنال را روی فرکانس ترسیم می‌کند. این را نباید با پاسخ فرکانسی یک تابع انتقال اشتباه کرد که آن هم شامل یک فاز است (یا به صورت معادل، یک بخش حقیقی و موهومی از یک تابع از فرکانس است). برای توابع انتقال (مثل نمودار بود و چرپ) پاسخ فرکانسی کامل را می‌توان در دو قسمت ترسیم کرد، دامنه دربرابر فرکانس و فاز دربرابر فرکانس- چگالی طیفی فاز، طیف فاز یا فاز طیفی (یا به صورت کمتر معمول، به صورت قسمت‌های حقیقی و موهومی از تابع انتقال). پاسخ ضربه (در دامنه زمان) ${\displaystyle h(t)}$
  را معمولاً نمی‌توان به صورت یکتا فقط از قسمت چگالی طیفی دامنه و بدون تابع فاز بازیابی کرد. اگرچه این‌ها زوج‌های تبدیل فوریه هستند، تقارنی در آن‌ها وجود ندارند (به آن صورت که برای خودهمبستگی وجود دارد) و این تبدیل فوریه را مجبور نمی‌کند تا مقدار حقیقی داشته باشد. نویز فاز، تاخیر زمانی و پالس بسیار کوتاه#فاز طیفی را ببینید.

مهندسی الکترونیک

مفهوم و استفاده از طیف توانی یک سیگنال در مهندسی برق بنیادین و اساسی است، مخصوصاً در سامانه‌های ارتباطی الکترونیکی مثل ارتباطات رادیویی، رادارها، و سامانه‌های مرتبط، بعلاوه فن‌آوری سنجش از دور پالس منفعل هم طیف توان کاربرد دارد. از ابزار الکترونیکی که تحلیل‌گر طیف نام دارند برای مشاهده و اندازه‌گیری طیف توانی سیگنال‌ها استفاده می‌شود.

تحلیل‌گر طیف اندازه تبدیل فوریه زمان-کوتاه (STFT) را برای یک سیگنال ورودی اندازه‌گیری می‌کند. اگر سیگنالی که می‌خواهیم آن را تحلیل کنیم را یک فرایند مانا در نظر بگیریم، آنوقت STFT یک تخمین بخوبی صاف از چگالی طیف توان آن است.

کیهان‌شناسی

نوسانات نخستین، یعنی تغییرات چگالی در جهان نخستین، توسط یک «طیف توان» کمی‌سازی می‌شوند، که توان تغییرات را به صورت تابعی از مقیاس فضایی به دست می‌دهد.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Spectral density». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۰ اکتبر ۲۰۲۱.