قواعد دیفرانسیل گیری

برای هر تابع دلخواه f و g و هر عددحقیقی a داریم:

• قاعدهٔ ضرب ثابت

${\displaystyle (af{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }}$

• قاعده جمع و تفریق

${\displaystyle (f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }}$

${\displaystyle (f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }.}$

قاعده ضرب

اگر برای هر دو تابع دلخواه f و g تعریف شود h(x) = f(x) g(x)، برای مشتق تابع h قاعدهٔ زیر، که به قاعده ضرب مشهور است، تعریف می‌شود:

${\displaystyle h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).}$

قاعده زنجیری

مشتق تابع h که برای هر f و g دلخواهی به صورت h(x) = f(g(x)) تعریف می‌شود، به شکل زیر است:

${\displaystyle h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x).}$

این قاعده مشهور به قاعده زنجیری یا قاعده مرکب است.

مشتق توابع وارون

اگر تابع g به صورت تابع وارون تابع f تعریف شود، قاعدهٔ زیر درست است:

${\displaystyle g^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ g}.}$

قاعده توان

این قاعده برای هر n غیر صحیح نیز تعمیم می‌یابد. به صورتی که برای هر n عضو اعداد حقیقی این قاعده پابرجاست.

قاعده خارج قسمت

اگر تابع h به صورت خارج قسمت تقسیم دو تابع f و g برهم تعریف شود، برای مشتق آن داریم:

${\displaystyle {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-g^{\prime }f}{g^2}}$

دقت شود که مقدار تابع g نباید مساوی ۰ شود.

این قاعده برای توابع نمایی به صورت زیر برقرار است:

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right)=c^{ax}\ln c\cdot a,c>0}$

دقت شود که c لزوماً نمی‌بایست که بزرگ‌تر از ۰ باشد. اما اگر مقدار c کمتر از ۰ باشد، مشتق این تابع یک عدد مختلط می‌شود.

مشتق‌های دیگر برای توابع مشهور توابع لگاریتمی و توابع نمایی به صورت زیر است:

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left({\log }_{c}x\right)=\frac{1}{x\ln c},c>0,c\ne 1}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\ln x\right)=\frac{1}{x},x>0}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\ln |x|\right)=\frac{1}{x}}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^x\right)=x^x(1+\ln x).}$

تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:

مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر می‌باشد:

• مشتق‌گیری لگاریتمی

این قواعد در بسیاری از کتاب‌ها و سایت‌های گوناگون وجود دارد. در این‌جا یک مورد از آن‌ها را ذکر می‌کنیم:

• Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.