زمان تقریبی مطالعه: 4 دقیقه
قاعده جمع در حسابان ، روش پیدا کردن مشتق یک تابع است که آن، تابع، از مجموع دو یا چند تابع دیگر حاصل شده باشد.
اگر تابعی از مجموع دو تابع u و v حاصل شده باشد آنگاه داریم:
d
d
x
(
u
+
v
)
=
d
u
d
x
+
d
v
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u+v)={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}}
اگر تابعی از مجموع چند تابع حاصل شده باشد آنگاه داریم:
d
d
x
(
u
+
v
+
w
+
…
)
=
d
u
d
x
+
d
v
d
x
+
d
w
d
x
+
⋯
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u+v+w+\dots )={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}+{\frac {dw}{dx}}+\cdots }
اثبات
اثبات ساده اگر تابع (h(x) = f(x) + g(x را در نظر گرفت و فرض کرد که f و g در هر نقطه‌ای مانند x مشتق پذیر هستند. آنگاه باید ثابت کرد که تابع h در x مشتق پذیر است و مشتق آن تابعی مانند (h'(x می‌باشد که از (f'(x)+g'(x حاصل شده‌است.
h
′
(
x
)
=
lim
a
→
0
h
(
x
+
a
)
−
h
(
x
)
a
{\displaystyle h'(x)=\lim _{a\to 0}{\frac {h(x+a)-h(x)}{a}}}
=
lim
a
→
0
[
f
(
x
+
a
)
+
g
(
x
+
a
)
]
−
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
a
{\displaystyle =\lim _{a\to 0}{\frac {[f(x+a)+g(x+a)]-[f(x)+g(x)]}{a}}}
=
lim
a
→
0
f
(
x
+
a
)
−
f
(
x
)
+
g
(
x
+
a
)
−
g
(
x
)
a
{\displaystyle =\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)+g(x+a)-g(x)}{a}}}
=
lim
a
→
0
f
(
x
+
a
)
−
f
(
x
)
a
+
lim
a
→
0
g
(
x
+
a
)
−
g
(
x
)
a
{\displaystyle =\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)}{a}}+\lim _{a\to 0}{\frac {g(x+a)-g(x)}{a}}}
=
f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
)
{\displaystyle =f'(x)+g'(x)}
اثبات پیچیده‌تر اگر تابع y از مجموع دو تابع u و v حاصل شده باشد:
y
=
u
+
v
{\displaystyle y=u+v\,}
اگر y , u و v با اندک افزایش Δy , Δu و Δv ، افزایش یابند آنگاه به ترتیب داریم:
y
+
Δ
y
=
(
u
+
Δ
u
)
+
(
v
+
Δ
v
)
=
u
+
v
+
Δ
u
+
Δ
v
=
y
+
Δ
u
+
Δ
v
.
{\displaystyle y+\Delta {y}=(u+\Delta {u})+(v+\Delta {v})=u+v+\Delta {u}+\Delta {v}=y+\Delta {u}+\Delta {v}.\,}
بنابراین:
Δ
y
=
Δ
u
+
Δ
v
.
{\displaystyle \Delta {y}=\Delta {u}+\Delta {v}.\,}
و حالا با تقسیم Δx بر دوطرف معادله داریم:
Δ
y
Δ
x
=
Δ
u
Δ
x
+
Δ
v
Δ
x
.
{\displaystyle {\frac {\Delta {y}}{\Delta {x}}}={\frac {\Delta {u}}{\Delta {x}}}+{\frac {\Delta {v}}{\Delta {x}}}.}
و اگر Δx به ۰ میل کند:
d
y
d
x
=
d
u
d
x
+
d
v
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}.}
با در نظرف گرفتن y = u + v , مشتق جمع می‌دهد:
d
d
x
(
u
+
v
)
=
d
u
d
x
+
d
v
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u+v\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}.}
می‌توان روش را برای تفریق نیز بسط داد:
d
d
x
(
u
−
v
)
=
d
d
x
(
u
+
(
−
v
)
)
=
d
u
d
x
+
d
d
x
(
−
v
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {d}{dx}}\left(u+(-v)\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {d}{dx}}\left(-v\right).}
و با لحاظ کردن ضریب k =−۱ داریم:
d
d
x
(
u
−
v
)
=
d
u
d
x
+
(
−
d
v
d
x
)
=
d
u
d
x
−
d
v
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {du}{dx}}+\left(-{\frac {dv}{dx}}\right)={\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dx}}.}
بنابراین قانون برای جمع و تفریق اینگونه تعریف می‌شود:
d
d
x
(
u
±
v
)
=
d
u
d
x
±
d
v
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u\pm v\right)={\frac {du}{dx}}\pm {\frac {dv}{dx}}.}
جستارهای وابسته
منابع
باریس پاولوویچ دمیدوویچ (۱۳۸۹ )، تمرین‌ها و مسائل آنالیز ریاضی ، پرویز شهریاری، وزارت علوم و آموزش عالی، شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۰-۰۲۸۲-۷ جورج توماس و راس فینی (۱۳۷۰ )، حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی ، مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۰۵۳۶-۸
