قضیه گرادیان

فرض می‌شود که تابع ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf{q}\right)-\varphi \left(\mathbf{p}\right)={\int }_L\mathrm{\nabla }\varphi \cdot d\mathbf{r}.}$

که در آن ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\varphi }$

فرض کنید شما می خواهید ارتفاع برج میلاد را محاسبه کنید. می‌توانید یک خط کش به دست بگیرید و از پله‌های برج بالا بروید و ارتفاع هر پله را اندازه گرفته و در انتها این مقادیر را با هم جمع کنید. یا می‌توانید یک ارتفاع سنج (نسبت به سطح دریاهای آزاد) را برداشته و ارتفاع نوک برج میلاد و پایین آن را محاسبه و این دو مقدار را از هم کم کنید (طبعاً این روش مناسبتر است!). نتیجه هر دو روش یکسان خواهد بود و این همان قضیه گرادیان است. در روش اول شما در واقع انتگرال گرادیان ارتفاع را و در روش دوم اختلاف ارتفاع در انتها و ابتدای مسیر را محاسبه کرده‌اید .

• [wolfram Mathworld]

• کاربرد انتگرال‌ها
• انتگرال خطی
• انتگرال چندگانه
• قضیه استوکس
• میدان برداری پایستار