فرمول اویلر

فرمول اویلر (به انگلیسی: Euler's formula)، منتسب به لئونارد اویلر، اتحادی است در آنالیز مختلط که رابطهٔ مابین تابع نمایی مختلط و توابع مثلثاتی را به صورت زیر بیان می‌دارد:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\!$

که در اینجا $e\!$

i={\sqrt {-1}}\!

x\!

عددی دلخواه و حقیقی بر حسب واحد رادیان است.

اثبات

می دانیم:

{\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1,\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\end{aligned}}

و الی آخر. با استفاده از بسط تیلور $e^{ix}$

برای هر

x

حقیقی داریم:

{\begin{aligned}e^{ix}&{}=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}}

Strang G (1998). "Introduction to Linear Algebra", 3rd ed.، Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5.
Henry J. Ricardo (2009). "A Modern Introduction to Differential Equations", 2nd ed.، Academic Press. ISBN 978-0-12-374746-4.