فرایند وینر

فرایند وینر W_t با مشخصه زیر تعیین می‌شود:

1. به صورت قریب به یقین W₀ = ۰
2. W رشد مستقل داشته باشد: یعنی W_t+u - W_t مستقل از(σ(W_s: s ≤ t برای u ≥ ۰
3. W رشد گوسی داشته باشد: یعنی W_t+u - W_t توزیع نرمال با میانگین ۰ و واریانس u باشد.W_t+u−W_t ~ N(0, u)
4. W مسیر پبوسته باشد: یعنی با احتمال ۱تابع W_t در t پیوسته باشد.

رشد مستقل داشته باشد به این معنی است که اگر ۰ ≤ s₁ <t₁ ≤ s₂ <t₂ آنگاه W_t1−W_s1 و W_t2−W_s2 متغیر تصادفی مستقل باشند.

فرایند وینر همچنین می‌تواند به مشخصه‌ای تعیین شود به نام مشخصه Lévy که می‌گوید که فرایند وینر به صورت قریب به یقین پیوسته martingale با W₀ = ۰ باشد و درجه دوم تنوع معادل wt,wt] = t] داشته باشد (که به این معنی است که W_t−t نیز martingale باشد.).

سومین مشخصه این است که فرایند وینر یک طیفی نمایندگی به صورت سری سینوسی با ضرایب مستقل به صورت متغیر تصادفی N(0, 1) باشد. این نمایش می‌تواند با استفاده از قضیه Karhunen–Loève بدست آید.

دیگر ویژگی فرایند وینر داشتن انتگرال معین (از صفر تا زمان t) با میانگین ۰ است و واریانس ۱ و همبستگی تابع ضربه به صورت فرایند گوسی سفید است.

فرایند وینر را می‌توان به عنوان حد پوسته پوسته شدن یک تصادفی پیاده‌روی یا هر فرایند تصادفی زمان-گسسته با خاصیت رشد مستقل مانا در نظر گرفت. این به عنوان قضیه Donsker شناخته می‌شود. مثل پیاده‌روی تصادفی، فرایند وینر هم در یک یا دو بعد تکرار شونده است (یعنی به صورت قریب به یقین برای هر مبدأ به یکی از همسایه‌ها می‌رسد) ولی در سه بعد و بالاتر تکرار شونده نیست. بر خلاف پیاده‌روی تصادفی مستقل از مقیاس نیست. یعنی

${\displaystyle {\alpha }^{-1}{W}_{{\alpha }^{2}t}}$

برای هر ثابت غیر صفر a یک فرایند وینر است. مقیاس وینر یک قاتوت احتمال در فضای توابع پیوسته g با g(0)=۰ بر اساس فرایند وینر است. انتگرال بر اساس مقیاس وینر انتگرال وینر نام دارد.

فرض کنید ${\displaystyle {\xi }_1,{\xi }_2,\dots }$

${\displaystyle W_n(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{1\le k\le \lfloor nt\rfloor }{\xi }_k}$

این یک تابع گام تصادفی است. چون که ${\displaystyle {\xi }_k}$

یک کلاس از Brownian martingales

خواص اساسی

چگالی احتمال تابع بدون شرط، با توزیع نرمال با میانگین ۰ و واریانس t در زمان ثابت t:

${\displaystyle f_{W_t}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}{e}^{-x^2/(2t)}.}$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a3c0bbe12d2a1d5cafdc35e1c836537e6cff27

در این فرایند میانگین ۰ است:

${\displaystyle E[W_t]=0.}$

و واریانس آن، با توجه به فرمول اصلی محاسبه واریانس t است :

${\displaystyle \mathrm{Var}(W_t)=E\left[W_t^2\right]-E^2[W_t]=E\left[W_t^2\right]-0=E\left[W_t^2\right]=t.}$

کوواریانس و همبستگی

کوواریانس و همبستگی فرایند:

${\displaystyle \mathrm{cov}(W_s,W_t)=min(s,t),}$

${\displaystyle \mathrm{corr}(W_s,W_t)=\frac{\mathrm{cov}(W_s,W_t)}{{\sigma }_{W_s}{\sigma }_{W_t}}=\frac{min(s,t)}{\sqrt{st}}=\sqrt{\frac{min(s,t)}{max(s,t)}}.}$

میانگین و واریانس به سادگی و با استفاده از تعریف توزیع نرمال بدست می‌آید. در نتیجه

${\displaystyle W_t=W_t-W_0\sim N(0,t).}$

کوواریانس و همبستگی فرایند از تعریف و اینکه رشد در بازه‌های غیر مشترک مستقل هست بدست می‌آید، که ما تنها از ناهمبسته بودن آن‌ها استفاده می‌کنیم. فرض کنید که t₁ <t₂.

${\displaystyle \mathrm{cov}(W_{t_1},W_{t_2})=\mathrm{E}\left[(W_{t_1}-\mathrm{E}[W_{t_1}])\cdot (W_{t_2}-\mathrm{E}[W_{t_2}])\right]=\mathrm{E}\left[W_{t_1}\cdot W_{t_2}\right].}$

اگر \W_{t2} به صورت زیر جایگزین شود:

${\displaystyle W_{t_2}=(W_{t_2}-W_{t_1})+W_{t_1}}$

به عبارت زیر می‌رسیم:

از آنجا که W(t₁) = W(t₁) − W(t₀) و W(t₂) − W(t₁) مستقل هستند

${\displaystyle \mathrm{E}\left[W_{t_1}\cdot (W_{t_2}-W_{t_1})\right]=\mathrm{E}[W_{t_1}]\cdot \mathrm{E}[W_{t_2}-W_{t_1}]=0.}$

در نتیجه

${\displaystyle \mathrm{cov}(W_{t_1},W_{t_2})=\mathrm{E}\left[W_{t_1}^2\right]=t_1.}$

نمایش وینر

وینر (۱۹۲۳) همچنین یک نمایش از مسیر براونی، در شرایط تصادفی سریهای فوریه داد. اگر ${\displaystyle {\xi }_n}$

${\displaystyle W_t={\xi }_{0}t+\sqrt{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_n\frac{\sin \pi nt}{\pi n}}$

و

${\displaystyle W_t=\sqrt{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_n\frac{\sin \left(\left(n-\frac{1}{2}\right)\pi t\right)}{\left(n-\frac{1}{2}\right)\pi }}$

نشان دهنده حرکت براونی در فاصله

${\displaystyle \sqrt{c}W\left(\frac{t}{c}\right)}$

یک حرکت براونی در فاصله ${\displaystyle [0,c]}$

حداکثر نمونه

توزیع مشترک حداکثر نمونه

${\displaystyle M_t=\underset{0\le s\le t}{max}{W}_s}$

که در آن W_t:

${\displaystyle f_{M_t,W_t}(m,w)=\frac{2(2m-w)}{t\sqrt{2\pi t}}{e}^{-\frac{(2m-w{)}^2}{2t}},m\ge 0,w\le m.}$

برای پیدا کردن توزیع بدن شرط −∞ <w ≤ m:

و میانگین آن

${\displaystyle \mathrm{E}[M_t]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}m{f}_{M_t}(m)dm={\int }_0^{\mathrm{\infty }}m\sqrt{\frac{2}{\pi t}}{e}^{-\frac{m^2}{2t}}dm=\sqrt{\frac{2t}{\pi }}}$

خودهمانندی

برخی از خواص مسیرهای نمونه

Brownian اسکیل

برای هر c> 0 فرایند ${\displaystyle V_t=(1/\sqrt{c})W_{ct}}$

برگشت زمانی

فرایند ${\displaystyle V_t=W_1-W_{1-t}}$

وارونگی زمانی

فرایند ${\displaystyle V_t=t{W}_{1/t}}$

یک کلاس از Brownian martingales

اگر چند جمله‌ای p(x, t) شرایط PDE را ارضا کند

${\displaystyle \left(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}+\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{x}^2}\right)p(x,t)=0}$

آنگاه فرایند تصادفی

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c890f52977abf57b3d460b548afac0966c8f4c1e

یک مارتینگیل است.

مثال: ${\displaystyle W_t^2-t}$

به‌طور کلی برای هر چند جمله‌ای p(x, t) فرایند تصادفی زیر یک مارتینگیل است

${\displaystyle M_t=p(W_t,t)-{\int }_0^{t}a(W_s,s)\mathrm{d}s,}$

که در آن a چند جمله‌ای زیر است:

${\displaystyle a(x,t)=\left(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}+\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{x}^2}\right)p(x,t).}$

مثال: ${\displaystyle p(x,t)=(x^2-t{)}^2,}$

${\displaystyle (W_t^2-t{)}^2-4{\int }_0^t{W}_s^2\mathrm{d}s}$

یک مارتینگیل است که نشان می‌دهد که متغیر درجه دو مارتینگیل ${\displaystyle W_t^2-t}$

${\displaystyle 4{\int }_0^t{W}_s^2\mathrm{d}s.}$

دربارهٔ توابع p(xa, t) در حالت کلی (غیر از چندجمله‌ای) مارتینگیل محلی (local martingales) را ببینید.

مجموعه‌ای از تمام توابع w با این خواص کامل مقیاس وینر است. یک مسیر (تابع نمونه) از فرایند وینر، قریب به یقین تمام این خواص را دارد.

خواص کیفی

• برای هر ε> ۰ تابع w هم مقادیر مثیت و هم مقادیر منفی را در بازه (۰, ε) دارد.
• تابع w در همه جا پیوسته‌است اما در هیچ جا مشتق پذیر نیست (مانند تابع وایرشتراس).
• حداکثرهای محلی تابع w متراکم و شمارا هستند. نقاط حداکثر دوبه دومتفاوت هستند. هر حداکثر محلی به صورت زیر تیز است: اگر w در tحداکثر محلی داشته باشد آنگاه

${\displaystyle \underset{s\to t}{lim}\frac{|w(s)-w(t)|}{|s-t|}\to \mathrm{\infty }.}$

برای حداقل‌های محلی هم به‌طور مشابه است.

• تابع w هیچ نقطه افزایش محلی ندارد. یعنی هیچ t> 0 وجود ندارد که برای یک ε در بازه (0, t) شروط زیر را ارضا کند. اولاً: w(s) ≤ w(t) برای هر sدر بازه (t − ε , t) و ثانیاً w(s) ≥ w(t) برای هر s در بازه (t, t + ε). (افزایش محلی از اینکه w در بازه (t − ε , t + ε) افزایش یابد، شرط ضعیفتری است) برای کاهش محلی هم به‌طور مشابه است.
• تابع w در هر بازه زمانیتغییرات بدون محدودیت دارد.
• متغیر درجه دوم wدر بازه [0,t] برابر t است.

در مقایسه با ارزش واقعی مورد پیچیده به ارزش شرط است به‌طور کلی یک زمان-تغییر پیچیده-ارزش وینر روند. برای مثال شرط 2X_t + iY_t است (در اینجا X_tبا Y_t مستقل هستند وینر فرایندهای مانند قبل).