سری دو جمله‌ای

عمر خیام برای اولین بار سری دوجمله‌ای را برای کل اعداد مثبت در سال ۱۰۷۸ میلادی کشف کرد، این فرمول همان بسط دو جمله‌ای${\displaystyle (a+b{)}^n}$

سری هندسی حالتی خاص از سری دو جمله‌ای است. اگر ${\displaystyle \alpha =-1}$

با فرض اینکه ${\displaystyle |x|=1}$

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k}$
  مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر ${\displaystyle \mathrm{Re}(\alpha )>0}$
  یا ${\displaystyle \alpha =0}$
  .
• برای ${\displaystyle x\ne -1}$
  سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر ${\displaystyle \mathrm{Re}(\alpha )>-1}$
• برای ${\displaystyle x=-1}$
  سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر ${\displaystyle \mathrm{Re}(\alpha )>0}$
  یا ${\displaystyle \alpha =0}$
  .

• ${\displaystyle (1+x{)}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})x^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})x^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})x^2=1+2x+x^2}$
• ${\displaystyle \frac{1}{1+x}=(1+x{)}^{-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{k})x^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-x{)}^k=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\cdots }$
• ${\displaystyle \sqrt{1+x}=(1+x{)}^{1/2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1/2}{k})x^k=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\frac{7x^5}{256}-\cdots }$
• ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x}}=(1-x{)}^{-1/2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{k})x^k=1+\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{2}+\frac{5x^3}{6}+\frac{35x^4}{128}+\frac{63x^5}{256}+\cdots }$

• بسط دو جمله‌ای
• سری هندسی
• سری مکلورن