ریشه دوم
در ریاضیات، ریشهٔ دوم یا جذر یا رادیکال (به انگلیسی: Square root) یک عدد حقیقی غیرمنفی
برای مثال، جذر عدد ۹ برابر ۳ است (به صورت
جذر اغلب در هنگام حل معادله درجه دوم یا معادلههای به شکل
طبق قانون بنیادی جبری، دو جواب برای ریشهٔ دوم یک عدد وجود دارد (این دو جواب در ریشهٔ دوم عدد صفر با هم یکی هستند). برای هر عدد حقیقی مثبت دو جواب برای ریشهٔ دوم وجود دارد که این دو جواب عددی هستند که یک بار منفی و یک بار مثبت است (به شکل
ریشهٔ دوم اعدادی که مربع کامل نیستند همواره عددی گنگ است، یعنی اعداد را نمیتوان به صورت کسری از دو عدد صحیح گویا کرد. برای مثال،
نماد ریشهٔ دوم (
خواص
- تابع ریشه دوم، ، تابعی است از مجموعه اعداد حقیقی غیرمنفیبه خودش.
- تابع ریشه دوم همواره مقداری منحصربهفرد برمیگرداند.
- برای به دست آوردن هر دو جواب ریشه دوم، ابتدا اولین جواب را به دست آورید و آن را x1 بنامید، سپس آن را از صفر کم کنید تا x2 به دست آید (x2 = ۰ − x1).
- خواص زیر، مهمترین خواص ریشه دوم هستند که برای هر عدد حقیقی مثبت وصحیح هستند:
- ریشه دوم تابعی است از اعداد گویا به اعداد جبری. عددی گویا است، اگر و تنها اگرعددی گویا باشد که بتوان آن را به صورت کسری از دو عدد مربع کامل نشان داد. بهطور کلی،عددی گنگ است.
- در هندسه، تابع ریشه دوم نگاشتی از سطح یک مربع به طول اضلاعش.
- خلاف یک اشتباه رایج، لزوماً برابرنیست. این برابری تنها در مواردی کهغیرمنفی باشد صدق میکند. اما اگرباشد، طبق تعریفاست و این یعنی. در نتیجه برای هر عدد حقیقیداریم. (قدرمطلق را ببینید)
- فرض کنید واعدادی حقیقی هستند به طوری که، و ما میخواهیم کهرا بیابیم. یکی از اشتباهات رایج این است که آن را به «معادله جذر» تبدیل کنیم و از آنرا نتیجه بگیریم. این کار نادرست است، زیرا ریشه دومبرابرنیست، بلکهاست (طبق یکی از خاصیتهای فوق). اما ما میتوانیم بگوییم، و در نتیجه.
- در حسابان، مثلاً وقتی میخواهیم اثبات کنیم که تابع ما پیوسته یا مشتقپذیر یا قابل حدگیری است، میتوانیم از عبارت زیر استفاده کنیم:
این عبارت برای تمام
- نمودار تابع به شکل زیر است، این نمودار از نصف یک سهمی ساخته میشود:
- تابع در تمام های غیرمنفی پیوسته و برای تمامهای مثبت مشتقپذیر است. (درمشتقپذیر نیست، زیرا شیب نمودار یا همان تانژانت در این نقطه ∞ است) مشتق این تابع برابر است با:
محاسبه
- مقاله اصلی: روشهای محاسبه ریشه دوم
امروزه روشهای بسیاری برای محاسبه ریشه دوم وجود دارد، بعضی از آنها را میتوان بر روی کاغذ انجام داد و بعضی از آنها هم با ماشین، البته همه ماشینحسابها دارای دکمه رادیکال نیستند.
اغلب برای حساب کردن ریشه دوم از بعضی برنامههای صفحهگسترده کامپیوتر و برخی دیگر از نرمافزارها استفاده میشود. نرمافزارهای کامپیوتری قابلیت محاسبه توابع نمایی و لگاریتم طبیعی را دارند و با استفاده از آن ریشه دوم
برای محاسبه ریشه دوم میتوان از خطکش مهندسی یا جدول لگاریتم کمک گرفت.
رایجترین روش محاسبه ریشه دوم بر روی کاغذ، استفاده از «روش بابلی» است. این روش از یک عملیات ساده استفاده میکند، و هر چه این روش را بیشتر انجام دهید به جواب نزدیکتر خواهید شد. برای پیدا کردن
- عددی تصادفی انتخاب کنید که اگر به توان دو برسد به عدد نزدیکتر باشد. (بهترین عدد، نزدیکترین عدد کمتر ازاست)
- جای را با میانگینو x / r عوض کنید.
- مراحل ۲ و ۳ را تکرار کنید.
ریشه دوم اعداد منفی و مختلط
- مقاله اصلی: عدد مختلط
مربع هر عدد منفی یا مثبت، عددی مثبت و مربع صفر همان صفر است. با این حال از هیچ عدد منفی نمیتوان جذر گرفت. اما در یک سیستم اعداد بزرگ به نام اعداد مختلط، میتوان از اعداد منفی هم ریشه دوم گرفت. برای این کار باید نوع جدیدی از عدد را با عنوان یکای مجازی تعریف کرد، که برابر با جذر عدد منفی یک است. این عدد معمولاً به صورت
زیرا:
در این صورت آرگومان
برای هر عدد غیر صفر
به گاه عددی به مستطیل شکل باشد، میتوان از فرمول زیر استفاده نمود:
به یاد داشته باشید که چون تابع ریشه دوم در نقاط مختلط گسسته است،
سومین مساوی را نمیتوان اثبات کرد.
اگر چه آن قضیه تنها در -۱ نادرست است (در اعداد بزرگتر از آن صحیح است)، √(zw) = ±√(z)√(w) برای ± یعنی + یا - صحیح است. به یاد داشته باشید که √(c) = ±c، و در نتیجه √(ab) = ±ab و √(zw) = ±√(z)√(w) که در آن a = √(z) و b = √(w) است.
ریشه دوم ماتریس و عملکردها
- مقاله اصلی: ریشه دوم یک ماتریس
اگر
به طوری کلی، برای هر ماتریس معمولی یا عملگر
جذرهای تودرتو بیکران
در وضعیتهایی که بخواهیم تعداد بی شمار ریشه دوم یک عدد را به دست آوریم، مانند:
جواب یک عدد گویاست. عدد گویا را میتوان با قرار دادن
اگر این سئوال را حل میکنیم، به جواب x = ۲ میرسیم. از این تقریب میتوانیم در هر جایی که n> ۰ استفاده کنیم:
همین رویه را میتوان به صورت زیر داشت:
این روش برای تمام مقادیر
ریشه دوم بیست عدد صحیح مثبت
۱ | ||
۱٫۴۱۴۲۱۳۵۶۲۳ ۷۳۰۹۵۰۴۸۸۰ ۱۶۸۸۷۲۴۲۰۹ ۶۹۸۰۷۸۵۶۹۶ ۷۱۸۷۵۳۷۶۹۴ ۸۰۷۳۱۷۶۶۷۹ ۷۳۷۹۹۰۷۳۲۴ ۷۸۴۶۲ | ||
۱٫۷۳۲۰۵۰۸۰۷۵ ۶۸۸۷۷۲۹۳۵۲ ۷۴۴۶۳۴۱۵۰۵ ۸۷۲۳۶۶۹۴۲۸ ۰۵۲۵۳۸۱۰۳۸ ۰۶۲۸۰۵۵۸۰۶ ۹۷۹۴۵۱۹۳۳۰ ۱۶۹۰۹ | ||
۲ | ||
۲٫۲۳۶۰۶۷۹۷۷۴ ۹۹۷۸۹۶۹۶۴۰ ۹۱۷۳۶۶۸۷۳۱ ۲۷۶۲۳۵۴۴۰۶ ۱۸۳۵۹۶۱۱۵۲ ۵۷۲۴۲۷۰۸۹۷ ۲۴۵۴۱۰۵۲۰۹ ۲۵۶۳۸ | ||
۲٫۴۴۹۴۸۹۷۴۲۷ ۸۳۱۷۸۰۹۸۱۹ ۷۲۸۴۰۷۴۷۰۵ ۸۹۱۳۹۱۹۶۵۹ ۴۷۴۸۰۶۵۶۶۷ ۰۱۲۸۴۳۲۶۹۲ ۵۶۷۲۵۰۹۶۰۳ ۷۷۴۵۷ | ||
۲٫۶۴۵۷۵۱۳۱۱۰ ۶۴۵۹۰۵۹۰۵۰ ۱۶۱۵۷۵۳۶۳۹ ۲۶۰۴۲۵۷۱۰۲ ۵۹۱۸۳۰۸۲۴۵ ۰۱۸۰۳۶۸۳۳۴ ۴۵۹۲۰۱۰۶۸۸ ۲۳۲۳۰ | ||
۲٫۸۲۸۴۲۷۱۲۴۷ ۴۶۱۹۰۰۹۷۶۰ ۳۳۷۷۴۴۸۴۱۹ ۳۹۶۱۵۷۱۳۹۳ ۴۳۷۵۰۷۵۳۸۹ ۶۱۴۶۳۵۳۳۵۹ ۴۷۵۹۸۱۴۶۴۹ ۵۶۹۲۴ | ||
۳ | ||
۳٫۱۶۲۲۷۷۶۶۰۱ ۶۸۳۷۹۳۳۱۹۹ ۸۸۹۳۵۴۴۴۳۲ ۷۱۸۵۳۳۷۱۹۵ ۵۵۱۳۹۳۲۵۲۱ ۶۸۲۶۸۵۷۵۰۴ ۸۵۲۷۹۲۵۹۴۴ ۳۸۶۳۹ | ||
۳٫۳۱۶۶۲۴۷۹۰۳ ۵۵۳۹۹۸۴۹۱۱ ۴۹۳۲۷۳۶۶۷۰ ۶۸۶۶۸۳۹۲۷۰ ۸۸۵۴۵۵۸۹۳۵ ۳۵۹۷۰۵۸۶۸۲ ۱۴۶۱۱۶۴۸۴۶ ۴۲۶۰۹ | ||
۳٫۴۶۴۱۰۱۶۱۵۱ ۳۷۷۵۴۵۸۷۰۵ ۴۸۹۲۶۸۳۰۱۱ ۷۴۴۷۳۳۸۸۵۶ ۱۰۵۰۷۶۲۰۷۶ ۱۲۵۶۱۱۱۶۱۳ ۹۵۸۹۰۳۸۶۶۰ ۳۳۸۱۸ | ||
۳٫۶۰۵۵۵۱۲۷۵۴ ۶۳۹۸۹۲۹۳۱۱ ۹۲۲۱۲۶۷۴۷۰ ۴۹۵۹۴۶۲۵۱۲ ۹۶۵۷۳۸۴۵۲۴ ۶۲۱۲۷۱۰۴۵۳ ۰۵۶۲۲۷۱۶۶۹ ۴۸۲۹۳ | ||
۳٫۷۴۱۶۵۷۳۸۶۷ ۷۳۹۴۱۳۸۵۵۸ ۳۷۴۸۷۳۲۳۱۶ ۵۴۹۳۰۱۷۵۶۰ ۱۹۸۰۷۷۷۸۷۲ ۶۹۴۶۳۰۳۷۴۵ ۴۶۷۳۲۰۰۳۵۱ ۵۶۳۰۷ | ||
۳٫۸۷۲۹۸۳۳۴۶۲ ۰۷۴۱۶۸۸۵۱۷ ۹۲۶۵۳۹۹۷۸۲ ۳۹۹۶۱۰۸۳۲۹ ۲۱۷۰۵۲۹۱۵۹ ۰۸۲۶۵۸۷۵۷۳ ۷۶۶۱۱۳۴۸۳۰ ۹۱۹۳۷ | ||
۴ | ||
۴٫۱۲۳۱۰۵۶۲۵۶ ۱۷۶۶۰۵۴۹۸۲ ۱۴۰۹۸۵۵۹۷۴ ۰۷۷۰۲۵۱۴۷۱ ۹۹۲۲۵۳۷۳۶۲ ۰۴۳۴۳۹۸۶۳۳ ۵۷۳۰۹۴۹۵۴۳ ۴۶۳۳۸ | ||
۴٫۲۴۲۶۴۰۶۸۷۱ ۱۹۲۸۵۱۴۶۴۰ ۵۰۶۶۱۷۲۶۲۹ ۰۹۴۲۳۵۷۰۹۰ ۱۵۶۲۶۱۳۰۸۴ ۴۲۱۹۵۳۰۰۳۹ ۲۱۳۹۷۲۱۹۷۴ ۳۵۳۸۶ | ||
۴٫۳۵۸۸۹۸۹۴۳۵ ۴۰۶۷۳۵۵۲۲۳ ۶۹۸۱۹۸۳۸۵۹ ۶۱۵۶۵۹۱۳۷۰ ۰۳۹۲۵۲۳۲۴۴ ۴۹۳۶۸۹۰۳۴۴ ۱۳۸۱۵۹۵۵۷۳ ۲۸۲۰۳ | ||
۴٫۴۷۲۱۳۵۹۵۴۹ ۹۹۵۷۹۳۹۲۸۱ ۸۳۴۷۳۳۷۴۶۲ ۵۵۲۴۷۰۸۸۱۲ ۳۶۷۱۹۲۲۳۰۵ ۱۴۴۸۵۴۱۷۹۴ ۴۹۰۸۲۱۰۴۱۸ ۵۱۲۷۶ |
ساختار هندسی ریشه دوم
ریشه دوم میتواند به صورت منحنی ساخته شود. اقلیدس روشی را برای بدست آوردن میانگین هندسی دو عدد مختلف ساختهاست: Proposition II.۱۴ و Proposition VI.۱۳. میانگین هندسی دو عدد
چنین روشی را رنه دکارت هم گفته بود، که میتوانید آن را در تمرین دوم صفحه دوم ببینید. اگر چه دکارت هیچ ادعایی برای اینکه مطلبی جدید را آورده نداشت و همه افراد آن را از آن اقلیدس میدانستند.
مفهوم جذر
- هر عدد مثبت بجز ۱، دو ریشه دوم دارد که یکی، قرینه دیگری است.
- در جذرگیری، تنها عدد مثبت در نظر گرفته میشود. جذر با علامت () نشان داده میشود.
- اعداد منفی، جذر ندارند؛ چون مجذور هیچ عددی منفی نمیشود.
- جذر اعداد ۰ و ۱، برابر با خود آن اعداد هستند.
جذر تقریبی
برای بدست آوردن جذر تقریبی اعداد ابتدا باید ببینیم که آن عدد بین کدام یک از مجذورهای کامل قبل و بعد وجود دارد؛ فرضاً جذر تقریبی عدد ۵۶ را میخواهیم حساب کنیم.
عدد ۵۶ بین دو عدد ۴۹ و ۶۴ که مجذور کامل هستند قرار دارند. پس:
خلاصه مراحل محاسبه جذر تقریبی
- مشخص میکنیم که عدد مورد نظر بین کدام دو عدد صحیح متوالی است.
- عدد وسط آن دو عدد صحیح را مشخص کرده و مجذور آن را حساب میکنیم.
- اگر مجذور عدد وسط، بزرگتر از عددی است که میخواهیم جذر آن را محاسبه کنیم، ۴ عدد کمتر و اگر کوچکتر است، ۴ عدد بیشتر از عدد وسط را در جدول مینویسیم.
- مجذور هر یک از این ۴ عدد را بدست میآوریم و با عدد مورد نظر مقایسه میکنیم.
- جذر تقریبی (تا یک رقم اعشار) برابر با عددی است که مجذورش به عدد مورد نظر نزدیکتر باشد.
- برای محاسبه جذر تا دو رقم اعشار، مراحل ۱ تا ۵ را برای اعداد با یک رقم اعشار انجام میدهیم و برای ارقام اعشاری بالاتر باز هم ادامه میدهیم.
پیشینه
در هند باستان، استفاده از ریشه دوم به سولبا سوتراس برمی گردد، که حدود ۵۰۰–۸۰۰ سال قبل از میلاد بودهاست. اولین روش برای یافتن ریشه دوم عدد ۲ و ۳ توسط بودایانا سولبا سوترا ارائه شده بود. آریاباتا در آریاباتیا (قسمت ۲٫۴) هم روشی برای به دست آوردن ریشه دوم اعداد چندرقمی داده بود.
د.ا. اسمیت در کتاب تاریخ ریاضی گفتهاست، «در اروپا چنین روشهایی (برای پیدا کردن ریشه دوم و مربع یک عدد) قبل از کاتنو (۱۵۴۶) استفاده نمیشدهاست. او روشهایی را برای به دست آوردن ریشه دوم، با استفاده از روش آریاباتا ارائه کرده بود.»
منابع
- ↑ علیاکبر دهخدا و دیگران، سرواژهٔ «مجذور»، لغتنامهٔ دهخدا (بازیابی در ۲۱ مارس ۲۰۱۲).
- Smith D.E. , History of Mathematics (book ۲)
- Joseph, George G. , The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2nd ed. Penguin Books, London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
پیوند به بیرون
- Japanese soroban techniques - Professor Fukutaro Kato's method
- Japanese soroban techniques - Takashi Kojima's method
- Algorithms, implementations, and more - Paul Hsieh's square roots webpage
- Square root of positive real numbers with implementation in Rexx.