توزیع فوق‌هندسی

فوقِ هندسی
	تابع جرم احتمال
	تابع توزیع تجمعی
پارامترها
تکیه‌گاه
تابع جرم احتمال
تابع توزیع تجمعی	که در آن همان تابع فوق‌هندسی همگانی است.
میانگین
مُد
واریانس
چولگی
کشیدگی
تابع مولد گشتاور
تابع مشخصه

توزیع فوقِ‌هندسی (به انگلیسی: Hypergeometric distribution) مجموعه ای از N عضو را در نظر بگیرید که k عضو آن دارای یک ویژگی و بقیه، فاقد این ویژگی هستند. مانند 500 لامپ موجود در یک جعبه که 300 تای آن سالم و بقیه معیوب باشند. حال فرض کنید می خواهیم از این مجموعه، n عضو به صورت تصادفی (بدون جایگذاری) انتخاب کنیم. دراین صورت اگر متغیر تصادفی X تعداد عناصری در n برداشت باشد که دارای ویژگی موردنظر هستند، می گوئیم X دارای توزیع فوق هندسی است.

تعریف

ابتدا برای درک بهتر این توزیع یک مثال مطرح می‌کنیم. فرض کنید از جعبه‌ای شامل D فیوز معیوب و N-D فیوز سالم، n فیوز را به‌طور تصادفی و بدون‌جایگذاری انتخاب‌کنیم. به‌علاوه فرض‌کنیدn، تعداد فیوزهای استخراجی از تعداد فیوزهای معیوب و فیوزهای سالم تجاوز نکند. فرض‌کنید متغیرتصادفی X تعداد فیوزهای معیوب خارج شده باشد. بنابراین:
تعریف: فرض کنید D,N و n اعداد صحیح و مثبت‌اند، با $n\leq min(D,N-D)$

. دراینصورت،

$p(k)=P(X=k)={{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}\quad \quad \quad for\quad k\in {0,1,2,...,n}$

را تابع جرم‌احتمال توزیع فوق‌هندسی می‌گویند.

اثبات ترکیبیاتی تابع احتمال بودن

با استفاده از اتحاد ترکیبیاتی واندرموند به راحتی می‌توان نتیجه‌گرفت که

\sum _{k=0}^{n}{{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}}={N \choose n}}

که با استفاده از آن برای همه‌ی مقادیر k به‌سادگی می‌توان $\sum _{k=0}^{n}p(k)=1$

را نتیجه‌گرفت.

متوسط و واریانس متغیرتصادفی فوق‌هندسی

برای متغیرتصادفی فوق‌هندسی X که در بالا تعریف شد داریم:

\operatorname {E} [X]={\frac {nD}{N}}

\operatorname {Var} [X]={\frac {nD(N-D)}{N^{2}}}(1-{\frac {n-1}{N-1}}).

توجه‌کنید که اگر آزمایش ستخراج n قلم کالا از جعبه‌ای شامل D قلم کالای معیوب و N-D قلم کالای سالم را با جایگذاری انجام‌دهیم، دراینصورت X دارای توزیع دوجمله‌ای با پارامترهای n و $D \over N$

است. پس:

\operatorname {E} [X]={\frac {nD}{N}}

\operatorname {Var} [X]=n{\frac {D}{N}}(1-{\frac {D}{N}})={\frac {nD(N-D)}{N^{2}}}.

اینها نشان‌ می‌دهند که اگر اقلام با جایگذاری انتخاب شوند، دراینصورت امیدریاضی X تغییر نمی‌کند اما واریانس X افزایش پیدامی‌کند. با وجود این اگر n بسیار کوچکتر از N باشد دراینصورت باتوجه به فرمول واریانس، استخراج باجایگذاری تقریب خوبی برای استخراج بدون‌ جایگذاری است.

مثال

در یک کیسه 24 مهره وجود دارد که 4 تای آن قرمز و مابقی سفید هستند. اگر از این کیسه 6 مهره به تصادف و بدون جایگذاری برداریم وX تعداد مهره‌های قرمز باشد؛ توزیع احتمال X را به دست آورید. احتمال اینکه هیچ مهره قرمزی بدست نیاید چقدر است؟ داریم n=6 ,D=4 , N=24 بنابراین توزیع احتمال X فوق هندسی و به صورت زیر است:

p(k)={{{4 \choose k}{{20} \choose {6-k}}} \over {24 \choose 6}}\quad \quad \quad k\in {0,1,2,3,4}

در نتیجه احتمال اینکه هیچ مهره‌ای قرمز نباشد می‌شود:

p(0)={{{4 \choose 0}{{20} \choose {6}}} \over {24 \choose 6}}=0.288

منابع

↑ «توزیع فوقِ‌هندسی» [آمار] هم‌ارزِ «hypergeometric distribution»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر یازدهم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۶۰۰-۶۱۴۳-۴۵-۳ (ذیل سرواژهٔ توزیع فوقِ‌هندسی)

saeed_ghahramani، Fundumentals_of_Probability_3rd.Edition

[1] «توزیع فوقِ‌هندسی» [آمار] هم‌ارزِ «hypergeometric distribution»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر یازدهم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۶۰۰-۶۱۴۳-۴۵-۳ (ذیل سرواژهٔ توزیع فوقِ‌هندسی)

فوقِ هندسی
تابع جرم احتمال
تابع توزیع تجمعی
پارامترها	${\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,$
تکیه‌گاه	$\scriptstyle {k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\right\}}\,$
تابع جرم احتمال	${{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
تابع توزیع تجمعی	$1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right],$ که در آن $\,_{p}F_{q}$ همان تابع فوق‌هندسی همگانی است.
میانگین	$n{K \over N}$
مُد	$\left\lceil {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rceil -1,\left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor$
واریانس	$n{K \over N}{(N-K) \over N}{N-n \over N-1}$
چولگی	${\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
کشیدگی	$\left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.$ ${\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+{}$ ${}+6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}$
تابع مولد گشتاور	${\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!$
تابع مشخصه	${\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}$