توزیع دوجمله‌ای

دوجمله‌ای
	تابع چگالی احتمال
	تابع توزیع تجمعی ; رنگها بر شکل قبلی منطبق است
پارامترها	تعداد تکرارها (طبیعی); شانس موفقیت (حقیقی)
تکیه‌گاه
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی
میانگین
میانه	یکی از
مُد
واریانس
چولگی
کشیدگی
آنتروپی
تابع مولد گشتاور
تابع مشخصه

توزیع دوجمله‌ای نوعی توزیع پرکاربرد در آمار، اقتصاد، و علوم تجربی است. در نظریهٔ احتمال و آمار توزیع دوجمله‌ای توزیعی گسسته‌ است از تعداد موفقیت‌ها در دنباله‌ای شامل n آزمایش مستقل برنولی همه با احتمال موفقیت p(توزیع برنولی). در واقع متغیر تصادفی X (تعداد موفقیت‌ها) را متغیر دوجمله‌ای با پارامترهای n و p می‌گویند.

یک آزمایش دوجمله‌ای بایستی دارای ویژگی‌های زیر باشد:

آزمایش دارای n تعداد آزمون یکسان و عیناً مشابه باشد.
نتیجه هر آزمون فقط به یکی از این دو صورت باشد: موفق یا ناموفق.
احتمال موفقیت آزمونی را اگر با p نشان دهیم، از آزمون به آزمون یکسان بوده و متغیر نباشد. احتمال ناموفقیت را با q نشان داده که برابر است با
q=1-p
آزمون‌ها مستقل باشند.

توزیع دوجمله‌ای برای p=۰٫۵ , مثلث پاسکال

مشخصه‌ها

تابع جرم احتمال

درحالت کلی اگر X یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای p,n باشد، آن را به‌صورت (X ~ B(n, p نمایش می‌دهیم. احتمال بدست‌آوردن k موفقیت با تابع جرم احتمال زیر مشخص می‌شود:

p(k)=\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\quad \quad \quad \quad for\quad k=0,1,2,...,n\,

حال می‌خواهیم بررسی کنیم که این فرمول چگونه بدست‌آمده‌است: توجه کنید که تعداد راه‌های ممکن در انجام n آزمایش برنولی که می‌تواند به k موفقیت منتهی شود برابر است با تعداد دنباله‌های مختلف به طول n از حروف b , a با k حرف a (موفقیت) و n-k حرف b (شکست). اما تعداد این دنباله‌ها برابر است با ${n \choose k}$

، زیرا تعداد جایگشت‌های متمایز n حرف از دو نوع مختلف، که k تا همانند از نوع اول و n-k تا همانند از نوع دوم وجود دارد برابر است با

{\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}

. باتوجه به استقلال امتحان‌ها چون احتمال هریک از این دنباله پیشامدها برابر

p^{k}(1-p)^{n-k}

است داریم:

\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\,

دلیل اینکه به این توزیع دوجمله‌ای می‌گویند این است که قضیهٔ بسط دوجمله‌ای تضمین می‌کند که $p(k)$

یک تابع جرم احتمال است:

\sum _{k=0}^{n}p(k)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(1-p)^{n-k}p^{k}=[p+(1-p)]^{n}=1^{n}=1\,

تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی دوجمله‌ای به‌شکل زیر است:

F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}\,

مثال

اگر یک تیرانداز با احتمال ۰/۷ تیری را به هدف بزند و x تعداد تیرهای به هدف خورده در ۵ شلیک باشد؛
ابتدا توزیع احتمال x را معلوم کنید و هر یک از احتمال‌های زیر را به دست آورید.
الف- دقیقاً ۳ تیر به هدف بزند.
ب- حداکثر ۲ تیر به هدف بزند.
ج- هیچ تیری به هدف نزند.
متغیر تصادفی x، دارای توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای n=۵ , p=۰٫۷ است که تابع احتمال آن را به صورت زیر می‌نویسیم:

p(k)={n \choose k}(0.7)^{k}(0.3)^{5-k}

برای به دست آوردن احتمالات در این مثال داریم:

P(X=3)={5 \choose 3}(0.7)^{3}(0.3)^{2}=0.3087

P(X\leq 2)=p(0)+p(1)+p(2)=0.16308\,

P(X=0)=p(0)=0.00243\,

میانگین و واریانس متغیرهای تصادفی دوجمله‌ای

فرض کنید $X$

یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای

n

و

p

باشد. به‌طور شهودی انتظار داریم که میانگین

X

برابر

n p

باشد. مثلاً اگر سکهٔ سالمی را صد بار پرتاب کنیم، انتظار داریم به‌طور متوسط ۵۰ بار شیر مشاهده کنیم که برابر است با:

np=100*(1/2)

. فرمول:

\operatorname {E} [X]=np

را می‌توان مستقیماً از تعریف امید ریاضی بدست‌آورد. در زیر این فرمول‌های امید ریاضی و واریانس این متغیر را آورده‌ایم:

\operatorname {E} [X]=np

\operatorname {Var} [X]=np(1-p).

مثال

تاسی را ۳ بار پرتاب می‌کنیم. اگر متغیر تصادفی $X$

تعداد تاسهایی که شش آمده باشد، تابع احتمال

X

را بنویسید و امید ریاضی و واریانس آن را محاسبه کنید.
چون پرتاب‌ها از یکدیگر مستقل اند و احتمال موفقیت (شش آمدن) در هر پرتاب ۱/۶ است و این آزمایش n=۳ بار تکرار می‌شود، بنابراین شرایط توزیع دوجمله‌ای با

p={\frac {1}{6}}

، n=۳ برقرار است و توزیع احتمال X را به صورت زیر می‌نویسیم:

p(k)={3 \choose k}(1/6)^{k}(5/6)^{3-k}\quad \quad \quad \quad

for\quad k=0,1,2,3

\operatorname {E} [X]=np=3*{\frac {1}{6}}

\operatorname {Var} [X]=np(1-p)=3*{\frac {1}{6}}*{\frac {5}{6}}

منابع

«توزیع دوجمله‌ای». دانشنامهٔ رشد. دریافت‌شده در ۷ بهمن ۱۳۸۷.
page 27,37 introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross
saeed_ghahramani، Fundumentals_of_Probability_3rd.Edition

دانش اسدی دانشجوی امار

↑ «توزیع دوجمله‌ای» [ریاضی] هم‌ارزِ «binomial distribution» (انگلیسی)؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر ششم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۸۵-۶ (ذیل سرواژهٔ توزیع دوجمله‌ای)
↑ Mathematical Statistics with Applications. Wackerly, Mendenhall. 5Ed. 1996. ISBN 0-534-20916-5 pp.88
↑ Mathematical Statistics with Applications. Wackerly, Mendenhall. 5Ed. 1996. ISBN 0-534-20916-5 pp.90

[1] «توزیع دوجمله‌ای» [ریاضی] هم‌ارزِ «binomial distribution» (انگلیسی)؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر ششم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۸۵-۶ (ذیل سرواژهٔ توزیع دوجمله‌ای)

[2] Mathematical Statistics with Applications. Wackerly, Mendenhall. 5Ed. 1996. ISBN 0-534-20916-5 pp.88

[3] Mathematical Statistics with Applications. Wackerly, Mendenhall. 5Ed. 1996. ISBN 0-534-20916-5 pp.90

تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی رنگها بر شکل قبلی منطبق است
پارامترها	$n\geq 0$ تعداد تکرارها (طبیعی) $0\leq p\leq 1$ شانس موفقیت (حقیقی)
تکیه‌گاه	$k\in \{0,\dots ,n\}\!$
تابع چگالی احتمال	${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\!$
تابع توزیع تجمعی	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\!$
میانگین	$np\!$
میانه	یکی از $\{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}$
مُد	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor \!$
واریانس	$np(1-p)\!$
چولگی	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\!$
کشیدگی	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}\!$
آنتروپی	${\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
تابع مولد گشتاور	$(1-p+pe^{t})^{n}\!$
تابع مشخصه	$(1-p+pe^{it})^{n}\!$