توزیع دیریکله—چندجمله‌ای

فرض کنیم N نمونه برداری تصادفی مستقل از یک توزیع دسته ای با K دسته انجام می دهیم. فرض کنیم مقادیر تصادفی را با ${\displaystyle z_{n}}$

1. مجموعه ای از N متغیر با توزیع دسته ای.
2. بردار ${\displaystyle \mathbf {x} =(n_{1},\dots ,n_{K})}$
   توزیع شده با توجه به توزیع چندجمله‌ای.

اکنون می توان روی این پارامتر این توزیع ها، یعنی p، توزیعی دیکله تجسم کرد و با انتگرال گیری نسبت به آن، توزیع پسین را بدست آورد. اگرچه دو دید فوق معادل هستند، اما با در نظر گرفتن هر کدام می توان توزیع پسین متفاوتی بدست آورد.

مجموعه ای از مشاهدات

توزیع مشترک

به ازای متغیر دسته ای ${\displaystyle \mathbb {Z} =z_{1},\dots ,z_{N}}$

${\displaystyle \Pr(\mathbb {Z} \mid {\boldsymbol {\alpha }})=\int _{\mathbf {p} }\Pr(\mathbb {Z} \mid \mathbf {p} )\Pr(\mathbf {p} \mid {\boldsymbol {\alpha }}){\textrm {d}}\mathbf {p} }$

که منجر به فرمول زیر می شود:

${\displaystyle \Pr(\mathbb {Z} \mid {\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\Gamma \left(A\right)}{\Gamma \left(N+A\right)}}\prod _{k=1}^{K}{\frac {\Gamma (n_{k}+\alpha _{k})}{\Gamma (\alpha _{k})}}}$

که در آن ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle A=\sum _{k}\alpha _{k}{\text{ and }}N=\sum _{k}n_{k}{\text{, and where }}n_{k}={\text{number of }}z_{n}{\text{'s with the value }}k{\text{.}}}$

توزیع معادل یک بعدی این توزیع توزیع بتا-دو جمله ای نام دارد.

• توزیع بتا-دوجمله ای
• فرایند رستوران چینی
• فرایند دیریکله
• توزیع دریکله عمومی