توزیع دیریکله

تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر است:

${\displaystyle f(x_1,\dots ,x_{K-1};{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K)=\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha )}\prod _{i=1}^K{x}_i^{{\alpha }_i-1}}$

به ازای همهٔ x₁, ..., x_K–1> 0 بطوریکه x₁ + ... + x_K–1 < 1, و x_K = 1 – x₁ – ... – x_K–1. چگالی در خارج از این ناحیه صفر است. ثابت نرمالیزاسیون به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \mathrm{B}(\alpha )=\frac{\prod _{i=1}^K\mathrm{\Gamma }({\alpha }_i)}{\mathrm{\Gamma }(\sum _{i=1}^K{\alpha }_i)},\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K).}$

حالت های خاص

یک حالت خاص زمانی است که تمامی مقادیر ${\displaystyle \mathit{\alpha }}$

${\displaystyle f(x_1,\dots ,x_{K-1};\alpha )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha K)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha {)}^K}\prod _{i=1}^K{x}_i^{\alpha -1}.}$

زمانی که ${\displaystyle \alpha =1}$

گشتاورها

فرض کنیم متغیرهای تصادفی ${\displaystyle X=(X_1,\dots ,X_K)\sim \mathrm{Dir}(\alpha )}$

${\displaystyle \mathrm{E}[X_i]=\frac{{\alpha }_i}{{\alpha }_0},}$

${\displaystyle \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X_i]=\frac{{\alpha }_i({\alpha }_0-{\alpha }_i)}{{\alpha }_0^2({\alpha }_0+1)}.}$

علاوه بر این اگر if ${\displaystyle i\ne j}$

${\displaystyle \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}[X_i,X_j]=\frac{-{\alpha }_i{\alpha }_j}{{\alpha }_0^2({\alpha }_0+1)}.}$

مد

مد توزیع برداری مانند (x₁, ..., x_K) است که در آن:

${\displaystyle x_i=\frac{{\alpha }_i-1}{{\alpha }_0-K},{\alpha }_i>1.}$

توزیع‌های حاشیه ای توزیع دیریکله، توزیع بتا هستند.

مزدوج برای توزیع چندجمله ای/دسته ای

این به این معنی است که اگر در مدلسازی مجموعه ای از داده ها از توزیع چندجمله ای/دسته ای استفاده کنیم و توزیع پیشین را دیریکله قرار دهیم، توزیع پسین الزاماً یک توزیع دیریکله خواهد بود. به زبان ریاضی یعنی

بنابرین روابط مقابل برقرار هستند:

ارتباط با توزیع دیریکله-چندجمله ای

آنتروپی

می دانیم

${\displaystyle \mathrm{E}[\log (X_i)]=\psi ({\alpha }_i)-\psi ({\alpha }_0)}$

و

${\displaystyle \mathrm{Cov}[\log (X_i),\log (X_j)]={\psi }^{\prime }({\alpha }_i){\delta }_{ij}-{\psi }^{\prime }({\alpha }_0)}$

که در آن ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle H(X)=\log \mathrm{B}(\alpha )+({\alpha }_0-K)\psi ({\alpha }_0)-\sum _{j=1}^K({\alpha }_j-1)\psi ({\alpha }_j)}$

ادغام پارامترها

اگر ${\displaystyle X=(X_1,\dots ,X_K)\sim \mathrm{Dir}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K)}$

${\displaystyle X^{\prime }=(X_1,\dots ,X_i+X_j,\dots ,X_K)\sim \mathrm{Dir}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_i+{\alpha }_j,\dots ,{\alpha }_K).}$

1. http://www.cis.hut.fi/ahonkela/dippa/node95.html