توزیع بتا-دوجمله‌ای

	تابع جرم احتمال
	تابع توزیع تجمعی
پارامترها	n ∈ عدد طبیعی — number of trials; (عدد حقیقی); (عدد حقیقی)
تکیه‌گاه	k ∈ { 0, …, n }
تابع جرم احتمال
تابع توزیع تجمعی	; ; where 3F2(a,b,k) is the generalized hypergeometric function; =3F2(1, α + k + 1, −n + k + 1; k + 2, −β − n + k + 2; 1)
میانگین
واریانس
چولگی
کشیدگی	See text
تابع مولد گشتاور	;
تابع مشخصه	;

توزیع بتا-دوجمله‌ای (انگلیسی: Beta-binomial distribution)

شکل ۱: چگالی احتمال.

شکل ۲: توزیع تجمعی.

می‌توان تصور کرد که پارامتر $p$

در این توزیع از یک توزیع بتا بدست آمده‌است.

{\begin{aligned}L(k|n,p)&=\operatorname {Bin} (n,p)\\&={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\end{aligned}}

که خود توزیع بتا دارای فرمول زیر است:

{\begin{aligned}\pi (p|\alpha ,\beta )&=\mathrm {Beta} (\alpha ,\beta )\\&={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\end{aligned}}

حال می‌توان توزیع کلی را به صورت زیر نوشت:

{\begin{aligned}f(k|n,\alpha ,\beta )&=\int _{0}^{1}L(k|p)\pi (p|\alpha ,\beta )\,dp\\&={n \choose k}{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}p^{k+\alpha -1}(1-p)^{n-k+\beta -1}\,dp\\&={n \choose k}{\frac {\mathrm {B} (k+\alpha ,n-k+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}

با استفاده از ویژگی‌های تابع بتا می‌توان رابطهٔ فوق را به صورت زیر ساده کرد:

f(k|n,\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (k+1)\Gamma (n-k+1)}}{\frac {\Gamma (k+\alpha )\Gamma (n-k+\beta )}{\Gamma (n+\alpha +\beta )}}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}.

توزیع‌های مرتبط

* Minka, Thomas P. (2003). Estimating a Dirichlet distribution. Microsoft Technical Report.

Using the Beta-binomial distribution to assess performance of a biometric identification device
Fastfit contains Matlab code for fitting Beta-Binomial distributions (in the form of two-dimensional Pólya distributions) to data.