تانسور انحنای ریمان
در شاخه هندسه دیفرانسیلِ ریاضیات، تانسور انحنای ریمان (Riemann curvature tensor) یا تانسور ریمان-کریستوفل (Riemann–Christoffel tensor) (براساس نامهای برنهارت ریمان و الوین برونو کریستوفل)، رایجترین روشی است که برای بیان انحنای منیفلدهای ریمانی مورد استفاده واقع میشود. در این روش تانسوری به هر نقطه از یک منیفلد ریمانی اختصاص داده میشود (یعنی میدان تانسوری است). این میدان تانسوری ناوردایی از متریک ریمانی است که شکست مشتق هموردای دوم در جابجا شدن را میسنجد. یک منیفلد ریمانی دارای انحنای صفر است اگر و تنها اگر تخت باشد، یعنی بهطور موضعی با فضای اقلیدسی ایزومتر باشد. همچنین تانسور انحنا را میتوان برای هر منیفلد شبه-ریمانی یا حتی برای هر منیفلد مجهز با التصاق آفین تعریف گردد.
این تانسور ابزاری مرکزی در نظریه نسبیت عام است. در این نظریه (نسبیت عام) که نظریهٔ مدرن گرانش است، انحنای فضازمان اصولاً از طریق معادله انحراف ژئودزیک قابل رؤِیت است. تانسور انحنا نمایانگر نیروی کشندی است که توسط جسم صلبی که بر روی ژئودزیک حرکت میکند تجربه گشته و توسط معادلات ژاکوبی به صورت دقیق بیان میگردد.
تعریف
فرض کنید
یا بهطور معادل:
که در آن
اگر
این تانسور انحنا «میزان ناجابجا بودن مشتق هموردا» را سنجیده و لذا مانع انتگرالپذیری برای وجود یک ایزومتری با ساختار فضای اقلیدسی است (در این بستر به آن فضای تخت گفته میشود). به تبدیل خطی
همچنین فرمول انحنا را میتوان برحسب مشتق هموردای دوم به این صورت تعریف کرد:
که برحسب
ازینرو در حالت کلی که از بردارهای غیر-مختصاتی
تقارنها و اتحادها
تانسور انحنای ریمان دارای تقارنها و اتحادهای زیر است:
تقارن اریب | ||
---|---|---|
تقارن اریب | ||
اولین اتحاد بیانکی (جبری) | ||
تقارن تبادلی | ||
دومین اتحاد بیانکی (دیفرانسیلی) |
جستارهای وابسته
ارجاعات
- ↑ Lee 2018, p. 193.
- ↑ Lee 2018, p. 196.
- ↑ Lawson, H. Blaine, Jr.; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton U Press. p. 154. ISBN 978-0-691-08542-5.
منابع
- Lee, John M. (2018). Introduction to Riemannian Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-3-319-91754-2.
- Besse, A.L. (1987), Einstein Manifolds, Springer, ISBN 0-387-15279-2
- Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry, vol. 1, Interscience
- Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0