انحنای ریچی

در هندسه دیفرانسیل، تنسور خمش ریچی، انحنای ریچی که برگرفته از نام گرگریو ریچی کورباسترو می‌باشد، مقدار انحراف حجم یک گوی ژئودزیک در یک خمینه ریمانی از حجم گوی استاندارد در فضای اقلیدسی را نمایش می‌دهد. بدین ترتیب این تنسور راهی برای اندازه‌گیری میزان تفاوت میان هندسه مشخص شده توسط متریک ریمانی با هندسه اقلیدسی معمولی n-بعدی، فراهم می آورد. تنسور ریچی بر روی هر خمینه شبه ریمانی به صورت اثری از تنسور خمش ریمان تعریف می‌شود. همانند خود متریک، تنسور ریچی نیز یک شکل متقارن دوخطی در فضای مماس خمینه است (Besse 1987, p. 43).

در نظریه نسبیت، تنسور ریچی بخشی از خمش فضازمان است که میزان تمایل ماده به واگرایی یا همگرایی در زمان را مشخص می‌کند( از طریق معادله ریچادوری). این خمش توسط معادلات میدان اینشتین به میزان کل ماده موجود در جهان مرتبط می‌گردد. اگر تنسور ریچی در معادله خلاء اینشتین صدق کند، خمینه یک خمینه اینشتین خواهد بود که بسیار مورد مطالعه قرار گرفته‌است((Besse 1987)). در این اتصال، معادله شار ریچی بر تحوّل یک متریک به متریک اینشتین حکمفرماست.

تعریف

فرض کنید که $(M,g)$

یک خمینه ریمانی n-بعدی باشد که مجهز به التصاق ِ لوی-چیویتای

\nabla

است. تنسور انحنای ریمان

M

، تنسور

(1,3)

است که توسط :

R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z

در میدان برداری

X, Y, Z

تعریف می‌شود. فرض کنید که

T_{p}M

نشان دهنده فضای تانژانت M در نقطه دلخواه p باشد. برای هر جفت

\xi ,\eta \in T_{p}M

از بردارهای تانژانت در p، تنسور ریچی

\mathrm {Ric} (\xi ,\eta )

در

(\xi ,\eta )

، به عنوان اثر نگاشت خطی

T_{p}M\to T_{p}M

که از :

\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi .

به دست می آید، تعریف می‌شود.

در مختصات محلی ( با استفاده از قرارداد جمع‌زنی اینشتین)، رابطه زیر برقرار است:

\operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}

که در آن : $R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.$

برحسب تنسور انحنای ریمان و نمادهای کریستوفل :

R_{\alpha \beta }={R^{\rho }}_{\alpha \rho \beta }=\partial _{\rho }{\Gamma _{\beta \alpha }^{\rho }}-\partial _{\beta }\Gamma _{\rho \alpha }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }=2\Gamma _{\alpha [\beta ,\rho ]}^{\rho }+2\Gamma _{\lambda [\rho }^{\rho }\Gamma _{\beta ]\alpha }^{\lambda }.

یادداشتها

↑ اینگونه پنداشته می‌شود که خمینه التصاق لِوی-چیویتای یکتای خود را دارد. تنسور ریچی برای یک التصاق ِ مُستَوی عمومی، نیازی نیست متقارن باشد.

منابع

Besse, A.L. (1987), Einstein manifolds, Springer.
Chow, Bennet and Knopf, Dan (2004), The Ricci Flow: an introduction, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3515-7.
Eisenhart, L.P. (1949), Riemannian geometry, Princeton Univ. Press.
Galloway, Gregory (2000), "Maximum Principles for Null Hypersurfaces and Null Splitting Theorems", Annales Poincare Phys.Theor., 1: 543–567, arXiv:math/9909158, Bibcode:1999math......9158G.
Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Interscience.
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 2, جان وایلی و پسران, ISBN 978-0-471-15732-8.
Lohkamp, Joachim (1994), "Metrics of negative Ricci curvature", Annals of Mathematics. Second Series, Annals of Mathematics, 140 (3): 655–683, doi:10.2307/2118620, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118620, MR 1307899.
Moroianu, Andrei (2007), Lectures on Kähler geometry, London Mathematical Society Student Texts, vol. 69, انتشارات دانشگاه کمبریج, ISBN 978-0-521-68897-0, MR 2325093
Nomizu, Katsumi; Sasaki, Takeshi (1994), Affine differential geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3.
Ricci, G. (1903–1904), "Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque", Atti R. Inst. Veneto, 63 (2): 1233–1239.
L.A. Sidorov (2001) [1994], "Ricci tensor", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
L.A. Sidorov (2001) [1994], "Ricci curvature", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[1] اینگونه پنداشته می‌شود که خمینه التصاق لِوی-چیویتای یکتای خود را دارد. تنسور ریچی برای یک التصاق ِ مُستَوی عمومی، نیازی نیست متقارن باشد.