تحلیل مجانبی

می‌گوییم دو تابع ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f}{g}=1}$

و این رابطهٔ هم‌ارزی را با نماد ${\displaystyle f\sim g}$

${\displaystyle \underset{n\to 0}{lim}\frac{f}{g}=1⟹f\sim g\text{as}n\to 0}$

خواص

با فرض ${\displaystyle f\sim g}$

• ${\displaystyle f^r\sim g^r}$
  به ازای هر ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle \log (f)\sim \log (g)}$
  این خاصیت برگشت‌پذیر نیست.
• ${\displaystyle f\times a\sim g\times b}$
• ${\displaystyle f/a\sim g/b}$

یکی از نمونه‌های استفاده از تحلیل مجانبی در قضیهٔ اعداد اول است: اگر ${\displaystyle \pi (x)}$

همچنین می‌توان به تقریب استرلینگ اشاره کرد: ${\displaystyle n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}$

به طور کلی تحلیل مجانبی در بسیاری از علوم ریاضی استفاده می‌شود:

• در آمار برای تقریب حدی از توزیع احتمال یک آماره استفاده می‌شود.
• در ریاضیات کاربردی، از تحلیل مجانبی برای ساخت روش‌های عددی برای تقریب جواب‌های معادلات استفاده می‌شود.
• در آمار ریاضی و نظریه احتمالات، در تجزیه و تحلیل رفتار بلندمدت متغیرهای تصادفی و برآوردگرها استفاده می‌شود.
• در علوم کامپیوتر برای تحلیل الگوریتم‌ها و مقایسهٔ عملکرد الگوریتم‌های متفاوت کاربرد بسیاری دارد.
• در حسابان، برای آزمودن همگرایی سری‌ها.
• تحلیل رفتار سامانه‌های فیزیکی مثل مکانیک آماری.

• نماد تتا بزرگ
• مجانب

1. ↑ «مجانبی» [ریاضی] هم‌ارزِ «asymptotic»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر چهارم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۶۴-۷۵۳۱-۵۹-۱ (ذیل سرواژهٔ مجانبی)
2. ↑ مقدمه‌ای بر الگوریتم‌ها (ویراست سوم). به کوشش توماس کورمن، چارلز لیزرسون، رونالد ریوست و کلیفورد استین. ترجمه مهندس دهقان طرزه.
3. ↑ Calculus Vol. 1 (2nd ed.). به کوشش Tom M. Apostol.

• Boyd, John P. (March 1999). "The Devil's Invention: Asymptotic, Superasymptotic and Hyperasymptotic Series". Acta Applicandae Mathematicae. 56 (1): 1–98. doi:10.1023/A:1006145903624.
• Asymptotic Expansions (Dover Books on Mathematics) by A. Erdelyi, 1956.