قضیه اعداد اول

اگر${\displaystyle \pi (x)}$

آنگاه

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi (x)}{x/ln(x)}=1}$

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \pi (x)}$	${\displaystyle \frac{\pi (x)}{x/ln(x)}}$	${\displaystyle \frac{x}{\pi (x)}}$
۱۰	۴	۰٫۹۲۱	۲٫۵۰۰
10	۲۵	۱٫۱۵۱	۴٫۰۰۰
10	۱۶۸	۱٫۱۶۱	۵٫۹۵۲
10	۱٬۲۲۹	۱٫۱۳۲	۸٫۱۳۷
10	۹٬۵۹۲	۱٫۱۰۴	۱۰٫۴۲۵
10	۷۸٬۴۹۸	۱٫۰۸۴	۱۲٫۷۴۰
10	۶۶۴٬۵۷۹	۱٫۰۷۱	۱۵٫۰۴۷
10	۵٬۷۶۱٬۴۵۵	۱٫۰۶۱	۱۷٫۳۵۷
10	۵۰٬۸۴۷٬۵۳۴	۱٫۰۵۴	۱۹٫۶۶۷
10	۴۵۵٬۰۵۲٬۵۱۱	۱٫۰۴۸	۲۱٫۹۷۵
OEIS	A006880	A057835

با استفاده از قضیه اعداد اول می توان اثبات کرد که:

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{p(x)}{x\ln (x)}=1}$

که در آن تابع ${\displaystyle p(x)}$

می دانیم:

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi (x)}{x/ln(x)}=1}$

${\displaystyle \pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}.}$

می دانیم توابع ${\displaystyle p(x)}$

${\displaystyle p^{-1}\left(x\right)=\pi (x)}$

در نتیجه می توان با حل معادله ${\displaystyle \pi (x)=x}$

می دانیم ${\displaystyle \pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}.}$

پس با حل معادله ${\displaystyle \frac{x}{\ln x}=x}$

به روش تکرار ساده معادله را حل میکنیم.

${\displaystyle \frac{x_1}{\ln x}=x_2}$

${\displaystyle x_1=x_2\ln (x)}$

${\displaystyle p(x)=x\ln (x)}$

اما باید توجه داشت چون به جای ${\displaystyle \pi (x)}$

${\displaystyle p(x)\sim x\ln (x)}$

در نتیجه:

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{p(x)}{x\ln (x)}=1}$