کروشه پواسون
در ریاضیات و مکانیک کلاسیک کروشهٔ پواسون (Poisson bracket) عملگری عمده در مکانیک هامیلتونی است. کروشه پواسون همچنین ارتباط مستقیمی بین مکانیک کوانتوم و مکانیک کلاسیک برقرار میکنند.
مختصات استاندارد
در مختصات ذاتی
معادلات حرکت هامیلتون
معادلات ژاکوبی-هامیلتون را میتوان بر حسب کروشهٔ پواسون بهصورت معادل زیر هم بیان کرد. این موضوع را میشود بهطور مستقیم در یک دستگاه مختصات عادی نشان داد. فرض میکنید
چنانچه
خواص و ویژگیهای کروشه پواسون
پاد متقارن بودن
یک نتیجه سریع از این خاصیت آن است که
خطی بودن
ثوابت حرکت
کروشهٔ پواسون قدرت واقعی خود را در یافتن ثابتهای حرکت نشان میدهد. ثابت حرکت تابعی در فضای فاز است که به زمان وابستگی صریح ندارد،
چند مثال از کاربرد براکت پواسون
ثابتهای حرکت آشنا را میتوان اکنون با توجه به این دستور العمل ساده دوباره بدست آورد:
انرژی
دیدیم که به خاطر خاصیت پاد تقارنی براکت پواسون
در حالتی که هامیلتونین وابستگی صریح به زمان نداشته باشد به این نتیجه می رسیم که هامیلتونین یک ثابت حرکت است. انرژی در صورتی پایسته میماند که وابستگی صریح به زمان نداشته باشد.
تکانه خطی
در حالتی که هامیلتونین شامل یک مختصه تعمیم یافته خاص،
بنابراین
منابع
- Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer, New York. ISBN 978-0-387-96890-2
Goldstein H. Classical mechanics. Cambridge, MA: Addison-Wesley, 1950.
عملیات دوتایی | ||||
---|---|---|---|---|
عددی | تابعی | مجموعهای | ساختاری | |
مقدماتی
+ جمع حسابی
div خارج قسمت اقلیدسی ترکیباتی
() ضریب دوجملهای | ∘ ترکیب ∗ کانولوشن |
جبر مجموعهها
∪ اجتماع ترتیب کلی
توریها
|
مجموعهها
× ضرب دکارتی گروهها
⊕ حاصلجمع مستقیم مدولها
⊗ ضرب تانسوری |
درختها
واریتههای متصل
# جمع متصل فضاهای نقطهدار
|
بُرداری | ||||
(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری | ||||
جبری | ||||
[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی | ||||
هومولوژی | ||||
∪ cup-produit • حاصلضرب اشتراک | ترتیبی | |||
+ الحاق | ||||
منطق بولی | ||||
∧ عطف منطقی | ∨ فصل منطقی | ⊕ یای انحصاری | ⇒ استلزام منطقی | ⇔ اگر و فقط اگر |