حلقه نیم-اول

برای یک حلقه جابجایی چون ${\displaystyle R}$

• اگر از ${\displaystyle x}$
  در ${\displaystyle R}$
  و برای عدد صحیح مثبتی چون ${\displaystyle k}$
  از ${\displaystyle x^k}$
  در ${\displaystyle A}$
  نتیجه شود که ${\displaystyle x}$
  هم در ${\displaystyle A}$
  باشد.
• اگر ${\displaystyle y}$
  در ${\displaystyle R}$
  باشد اما در ${\displaystyle A}$
  نباشد، آنگاه تمام توان‌های صحیح مثبت ${\displaystyle y}$
  هم در ${\displaystyle A}$
  نباشند.

شرط دوم می گوید که متمم یک ایده‌آل نیم-اول "تحت توان گیری بسته است". این شرط مشابه خاصیت ایده‌آل های اول است که متممشان تحت ضرب بسته است.

همچون ایده‌آل های اول، خاصیت اخیر برای ایده‌آل های نیم-اول با کمک ایده‌آل ها به حلقه های ناجابجایی تعمیم پیدا می کند. شرایط زیر برای ایده‌آل نیم-اول ${\displaystyle A}$

• برای هر ایده‌آل ${\displaystyle J}$
  از ${\displaystyle R}$
  ، اگر برای هر عدد طبیعی ${\displaystyle k}$
  داشته باشیم ${\displaystyle J^k\subseteq A}$
  آنگاه ${\displaystyle J\subseteq A}$
  .
• برای هر ایده‌آل راست چون ${\displaystyle J}$
  از ${\displaystyle R}$
  ، اگر برای هر عدد طبیعی ${\displaystyle k}$
  داشته باشیم ${\displaystyle J^k\subseteq A}$
  آنگاه ${\displaystyle J\subseteq A}$
  .
• برای هر ایده‌آل چپ چون ${\displaystyle J}$
  از ${\displaystyle R}$
  ، اگر برای هر عدد طبیعی ${\displaystyle k}$
  داشته باشیم ${\displaystyle J^k\subseteq A}$
  آنگاه ${\displaystyle J\subseteq A}$
  .
• برای هر ${\displaystyle x}$
  در ${\displaystyle R}$
  ، اگر ${\displaystyle xRx\subseteq A}$
  ، آنگاه ${\displaystyle x}$
  در ${\displaystyle A}$
  خواهد بود.

در اینجا دوباره، حالتی مشابه با حالت ناجابجایی برای m-دستگاه ایده‌آل های اول داریم. یک زیرمجموعه ناتهی ${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle R\setminus A}$
  یک n-دستگاه است.

حلقه ${\displaystyle R}$