رادیکال ایده‌آل

در نظریه حلقه های جابجایی، رادیکال یک ایده‌آل چون $I$

، ایده‌آلی است به طوری که

x

در این رادیکال است اگر و تنها اگر توانی از

x

در

I

باشد. ایده‌آل رادیکال (یا ایده‌آل نیم-اول)، ایده‌آلی است که برابر با رادیکال خودش باشد. رادیکال یک ایده‌آل اولیه، ایده‌آلی اول است.

تعمیم این مفهوم به حلقه های ناجابجایی در مقاله حلقه نیم-اول بحث شده است.

تعریف

رادیکال یک ایده‌آل چون $I$

در یک حلقه جابجایی به صورت

\operatorname {rad} (I)

یا

{\sqrt {I}}

نمایش داده شده و به صورت زیر تعریف می شود:

{\sqrt {I}}=\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{for some}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\},

(دقت کنید که $I\subset {\sqrt {I}}$

). به طور شهودی،

{\sqrt {I}}

با گرفتن تمام ریشه های عناصر

I

در حلقه

R

بدست می آید.

M. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1994. شابک ‎۰−۲۰۱−۴۰۷۵۱−۵
Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, شابک ‎۰−۳۸۷−۹۴۲۶۸−۸.
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001