انتگرال دیریکله

ابتدا انتگرال را به صورت تابعی از یک ثابت دلخواه بازنویسی می‌کنیم، ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(\alpha ,\beta )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha \omega }\frac{\sin \beta \omega }{\omega }d\omega }$

را در نظر بگیرید. سپس باید ${\displaystyle f(0,1)}$

با مشتق گیری نسبت به ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \frac{df}{d\alpha }=\frac{d}{d\alpha }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha \omega }\frac{\sin \beta \omega }{\omega }d\omega }$

با اعمال قانون انتگرال لایبنیتز داریم:

${\displaystyle \frac{d}{d\alpha }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha \omega }\frac{\sin \beta \omega }{\omega }d\omega ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\alpha }{e}^{-\alpha \omega }\frac{\sin \beta \omega }{\omega }d\omega =-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha \omega }\sin \beta \omega d\omega }$

انتگرال با استفاده از فرمول اویلر بسیار ساده‌تر ساخته می‌شود

${\displaystyle e^{i\beta \omega }=\cos \beta \omega +i\sin \beta \omega }$

در نتیجه

${\displaystyle \mathrm{\Im }{e}^{i\beta \omega }=\sin \beta \omega }$

که ${\displaystyle \mathrm{\Im }}$

${\displaystyle -\mathrm{\Im }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha \omega }{e}^{i\beta \omega }d\omega =\mathrm{\Im }\frac{1}{-\alpha +i\beta }=\mathrm{\Im }\frac{-\alpha -i\beta }{{\alpha }^2+{\beta }^2}=\frac{-\beta }{{\alpha }^2+{\beta }^2}}$

بنابراین

${\displaystyle \frac{df}{d\alpha }=\frac{-\beta }{{\alpha }^2+{\beta }^2}}$

با انتگرال گرفتن از هر دو سوی معادله با شروع از ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{df}{d\alpha }d\alpha ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{-\beta }{{\alpha }^2+{\beta }^2}d\alpha }$

${\displaystyle f(\mathrm{\infty },\beta )-f(0,\beta )=-\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{lim}\arctan \frac{\alpha }{\beta }+\arctan 0}$

${\displaystyle f(0,\beta )=\frac{\pi }{2}\text{sign}\beta }$

Note that ${\displaystyle f(\mathrm{\infty },\beta )=\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha \omega }\frac{\sin \beta \omega }{\omega }d\omega =0}$

لذا،

${\displaystyle f(0,1)=\frac{\pi }{2}}$

در نتیجه:

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \omega }{\omega }d\omega =\frac{\pi }{2}}$

و به‌طور کلی تر

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \beta \omega }{\omega }d\omega =\frac{\pi }{2}\text{sign}\beta }$

• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Integrals". MathWorld.