اصل اکسترمال

اگر راه‌های مختلفی برای بهینه‌سازی وجود داشته باشد انتخاب بکی از آن‌ها بسته به نظر ما می‌باشد. اصل اکسترمال بسیار خلاق است و می‌تواند الگوریتم روش ساختن آن حالت را به ما نشان دهد. در اینجا برای تفهیم بیشتر موضوع مثالی می‌آوریم. اما در ابتدا به ۳ اصل معروف می‌پردازیم.

• الف: هر مجموعه کراندار نامشخصی مثل A از اعداد صحیح یا حقیقی دارای یک عنصر می‌نیمال ${\displaystyle A}$
  و یک عنصر ماکسیمال ${\displaystyle A}$
  دارد که ضرورتاً یکتا نمی‌باشند.
• ب :هر زیر مجموعه غیر تهی از اعداد صحیح مثبت دارای کوچکترین عضو است. این را اصل خوش ترتیبی می‌نامند و هم ارز با اصل استقرای ریاضی است.
• ج: مجموعه بی‌کران ${\displaystyle A}$
  از اعداد حقیقی ضرورتاً دارا عضو ماکسیمال یا مینیمال نیست. اگر ${\displaystyle A}$
  از بالا کراندار باشد، آنگاه دارای کوچکترین کران بالاست که آن را سوپریموم ${\displaystyle A}$
  می‌نامیم. اگر ${\displaystyle A}$
  از پایین کراندار باشد دارای بزرگترین کران پایین است و آن را اینفیموم ${\displaystyle A}$
  می‌نامیم.

اگر ${\displaystyle SUPA\in A}$

مثال ۱ : n خط حداکثر یک صفحه را به چند بخش تقسیم می‌کند؟

حل : یک نفر مبتدی برای حل این مسئله از اینجا شروع می‌کند که ${\displaystyle p_{n+1}=g(p_n)}$

در واقع در این استدلال هیچ اشکالی نیست. چون رابطه بازگشتی پایه و اساس این شوره تفکر است، یک مسئله حل کن تجره گرا ممکن است مسئله را در ذهن خود حل نماید. ما به شماره کردن مسئله می‌پردازیم. یکی از اصول شمارش اساسی تناظر یک به یک برقرار کردن است.

اولین سؤال این است آیا می‌توان ${\displaystyle p_n}$

ترکیب ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)}$

مثال ۲: این مسئله به وسیله سیلوستر در سال ۱۸۹۳ طرح شد و در سال ۱۹۳۳ توسط گالی به روش پیچیده‌ای حل گردید و سپس در سال ۱۹۴۸ درچند خط با اصل اکسترمال توسط کلی حل گردیده‌است. مجموعه محدود شامل نقاطی از صفحه‌است که هر خط گذرنده ازدو نقطه از نقطه سومی می‌گذرد. ثابت کنید تمام نقاط روی یک خط واقع می‌باشند.

حل: فرض کنیم این نقاط هم خط نیستند. زوج (P,L (عبارت است از خطی مانند${\displaystyle L}$

مثال ۳: در کشور اسکانیا هر شهری به شهر دیگر فقط به وسیلهٔ یک جاده یک طرفه وصل شده‌است. ثابت کنید شهری وجود دارد که از هر شهری به آن مستقیم یا حداکثر به واسطه یک شهر دیگر می‌توان رسید.

حل : فرض کنیم ${\displaystyle m}$

اگر R تهی باشد حکم ثابت است. اگر ${\displaystyle X\in R}$

• انگل، آرتور. استراتژی‌های حل مسئله، چاپ دوم. تهران: مبتکران، ۱۳۸۴. شابک ۵-۴۱۴-۳۹۵-۹۶۴
• ویکی‌پدیا

• مسائل اکسترمال در پیچیدگی و آنالیزهای حقیقی‌
• الگوریتم هندسی، دایرهای اکسترمال‌
• ترکیب‌شناسی اکسترمال‌
• تئوری گراف اکسترمال‌
• کارگاه پیرامون گرافهای اکسترمال