اثبات ریاضی

برهان مستقیم

در برهان مستقیم، نتیجه از ترکیب منطقی اصل‌ها، تعریف‌ها و تئوری‌های پیشین بدست می‌آید. به‌طور مثال برهان مستقیم برای اثبات زوج بودن جمع دو عدد زوج بکار می‌رود:

برای هر ۲ عدد زوج صحیح ${\displaystyle x}$

این اثبات از تعریف اعداد زوج صحیح، و همین‌طور قاعدهٔ توزیع استفاده می‌کند.

اثبات استقرایی

در اثبات استقرایی، ابتدا یک «حالت پایه» اثبات می‌شود، و سپس به کمک «فرض استقراء» مجموعه‌ای از حالات بعدی اثبات می‌شود.(عموماً متناهی) از آنجایی که حالت پایه صحیح است، حالات دیگر هم باید صحیح باشند، حتی اگر همهٔ آن‌ها هم نتوانند به خاطر تعداد نامتناهی‌شان به صورت مستقیم اثبات شوند.

استقرای ریاضی می‌تواند برای اثبات گویا نبودن ریشه دوم ۲، به‌کار رود.

اثبات از طریق عکس نقیض

اثبات از طریق عکس نقیض، نتیجهٔ «اگر p آنگاه q» را برقرار می‌سازد به وسیلهٔ اثبات گزارهٔ عکس نقیض هم‌ارز با آن که «اگر نقیض q آنگاه نقیض p» می‌باشد.

اثبات با برهان خلف

در اثبات با برهان خلف، فرض می‌کنیم گزاره‌ای غلط است، سپس به یک تناقض منطقی می‌رسیم، پس نتیجه می‌گیریم که آن گزاره باید صحیح باشد. این روش، یکی از متداول‌ترین روش‌های اثبات در ریاضی است.

یک مثال معروف در برهان خلف نشان می‌دهد که: ${\displaystyle \sqrt{2}}$

فرض کنید ${\displaystyle \sqrt{2}}$

گویا است، پس ${\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}}$

که ${\displaystyle a}$

و ${\displaystyle b}$

اعداد صحیح غیر صفر بدون عامل مشترک هستند. پس ${\displaystyle b\sqrt{2}=a}$

. با به توان ۲ رساندن دو طرف داریم: ${\displaystyle 2b^2=a^2}$

. سمت چپ بر ۲ بخش‌پذیر است، پس سمت راست نیز باید بر ۲ بخش‌پذیر باشد (چون ۲ طرف مساوی و هر دو عدد صحیح هستند). پس ${\displaystyle a^2}$

زوج است، که نتیجه می‌دهد ${\displaystyle a}$

نیز باید زوج باشد.

پس می‌توان نوشت ${\displaystyle a=2c}$

با استدلال مشابه ۲ می‌شمارد ${\displaystyle b^2}$

اثبات از طریق شبیه‌سازی

اثبات از طریق شبیه‌سازی، یا اثبات با تمثیل، در حقیقت ساختن یک مثال واقعی با خصوصیتی ویژه‌است تا نشان دهیم چیزی با آن خصوصیت وجود دارد.

اثبات فرسایشی

در اثبات فرسایشی، نتیجهٔ مطلوب از طریق تقسیم آن به تعداد متناهی‌ای از حالت‌ها و اثبات هر کدام به‌صورت جداگانه به‌دست می‌آید. در اثبات فرسایشی، تعداد حالت‌ها ممکن است خیلی زیاد باشد. به‌طور مثال، اولین اثبات تئوری چهار رنگ، یک اثبات فرسایشی با ۱۹۳۶ حالت مختلف بود. این اثبات یک اثبات جدال‌آمیز بود؛ زیرا در آن اکثریت حالت‌ها با کامپیوتر چک شده بود و نه با دست. کوتاه‌ترین اثبات شناخته‌شده برای تئوری ۴ رنگ، هنوز هم بیش از ۶۰۰ حالت را در بر می‌گیرد.

اثبات احتمالاتی

اثبات احتمالاتی اثباتی است که در آن به‌وسیلهٔ تئوری احتمالات، با قطعیت، نشان می‌دهیم که مثالی با ویژگی مطلوب وجود دارد. این را نباید با گزاره‌ای که احتمال درستی دارد (شاید درست باشد)، اشتباه گرفت. استدلال اخیر را همچنین می‌توان 'استدلال گزارهٔ معقول' نام نهاد که البته یک اثبات نیست. در فرضیهٔ کلاتز مشخص است که این چقدر با یک اثبات واقعی فاصله دارد. در حالی که بیشتر ریاضیدان‌ها معتقدند که گواه احتمالاتی اصلاً یک روش معتبر اثبات ریاضی نیست، تعدادی از ریاضیدان‌ها و فلاسفه بر این باورند که حداقل تعداد خاصی از استدلال‌های احتمالاتی (مانند الگوریتم احتمالاتی رابینز برای تشخیص اعداد اول) به خوبی یک اثبات معتبر ریاضی هستند.

اثبات احتمالاتی مانند اثبات با شبیه‌سازی، یکی از راه‌های مختلف برای نشان دادن تئوری‌های وجودی می‌باشند.

اثبات ترکیبیاتی

اثبات ترکیبیاتی، برابری ۲ عبارت را ثابت می‌کند. با نشان دادن این که هر دو عبارت یک چیز را می‌شمارند.

اثبات غیر تمثیلی

اثبات غیر تمثیلی نشان می‌دهد که یک گزارهٔ ریاضی باید وجود داشته باشد، بدون این که توضیح دهد چگونه چنان گزاره‌ای به‌دست می‌آید. بیشتر اوقات، این شکل از اثبات، فرم برهان خلفی را به خود می‌گیرد که در آن اثبات می‌شود که وجود نداشتن چنان گزاره‌ای غیرممکن است. در مقابل، اثبات‌هایی تمثیلی (اثبات از طریق شبیه‌سازی) هستند که بیان می‌کنند گزاره‌ای وجود دارد، به‌وسیلهٔ ارائه کردن راهی برای پیدا کردن آنها. یک مثال معروف از اثبات غیر تمثیلی نشان می‌دهد که دو عدد گنگ ${\displaystyle a}$

اثبات ابتدایی

اثبات ابتدایی اثباتی است که از تحلیل‌های پیچیده استفاده نمی‌کند.

تا مدت‌ها این باور وجود داشت که تئوری‌های خاصی مانند تئوری اعداد اول، تنها به کمک «ریاضیات پیشرفته» قابل اثبات است. در حالی که با گذشت زمان، بسیاری از این نتایج، با استفاده از تکنیک‌های ابتدایی به اثبات رسید.

• تئوری اثبات
• تئوری مدل

• ریاضیات و استدلال‌های پذیرفتنی، ۱۹۵۴.Polya, G. چاپ دانشگاه پرینستون