آزمون فرض آماری

آزمون یک فرض آماری عبارت از به کار گرفتن مجموعه قواعد صریحی برای آن است که تصمیم بگیریم که آیا فرض صفر را بپذیریم یا آن را به نفع فرض مقابل رد کنیم؛ مثلاً فرض کنید که آماردانی می‌خواهد فرض صفر ${\displaystyle \theta ={\theta }_0}$

• ${\displaystyle H_0}$
  : فرض صفر
• ${\displaystyle H_1}$
  : فرض مقابل

به ناحیه رد برای ${\displaystyle H_0}$

روشی که هم‌اکنون توصیف شد ممکن است به دو نوع خطا منجر شود:

خطای نوع I

رد فرض صفر را وقتی که درست باشد خطای نوع I می‌نامند؛ احتمال ارتکاب خطای نوع I را با ${\displaystyle \alpha }$

خطای نوع II

قبول فرض صفر را وقتی که نادرست باشد، خطای نوع II می‌نامند؛ احتمال ارتکاب خطای نوع II را با ${\displaystyle \beta }$

اگر مهندسی بخواهد بر مبنای داده‌های نمونه ای نظر دهد که آیا طول عمر متوسط نوع خاصی لاستیک چرخ ماشین حداقل ۲۲۰۰۰ مایل است یا نه، اگر یک کارشناس کشاورزی بخواهد بر مبنای آزمایش‌هایی نظر دهد که آیا نوع خاصی کود کشاورزی محصول لوبیای بیشتری نسبت به کود دیگر تولید می‌کند یا نه، و اگر یک سازنده محصولات دارویی بخواهد بر مبنای نمونه‌هایی نظر دهد که آیا ۹۰ درصد کلیه بیمارانی که داروی جدیدی را مصرف می‌کنند از بیماری خاصی بهبود خواهند یافت یا نه، همه این مسائل را می‌توان به زبان آزمون فرض‌های آماری برگرداند.

در مورد اول می‌توانیم بگوییم که این مهندس باید این فرض را آزمون کند که ${\displaystyle \theta }$

مانند مثال‌های بالا، اغلب آزمون‌های آماری به پارامترهای توزیع‌ها می‌پردازند، ولی گاهی آن‌ها به نوع، یا ماهیت خود توزیع‌ها نیز می‌پردازند. به عنوان مثال، در اولین مثال از سه مثال بالا، آن مهندس همچنین ممکن است بخواهد نظر دهد که آیا واقعاً با نمونه ای از توزیع نمایی سر و کار دارد، یا اینکه آیا داده‌های او مقادیر متغیرهای تصادفی ای هستند که، مثلاً، دارای توزیع وایبول هستند.

فرض آماری

یک فرض آماری، حکم یا حدسی دربارهٔ توزیع یک یا چند متغیر تصادفی است. اگر یک فرض آماری توزیع را کاملاً مشخص کند، آن را فرض ساده و در غیر این صورت آن را فرض مرکب می‌نامند.

فرض‌هایی که به صورت یک رابطه تساوی بیان می‌شوند فرض‌های ساده نامیده می‌شوند ولی ممکن است این فرض‌ها به صورت نامساوی یا فرض‌های مرکب نیز باشند.

بدین ترتیب یک فرض ساده باید نه تنها شکل تابع توزیع مبنا، بلکه مقادیر همه پارامترها را نیز مشخص کند؛ بنابراین در سومین مثال از مثال‌های بالا، یعنی مثالی که با کارایی داروی جدید سر و کار دارد، فرض ${\displaystyle \theta =0.90}$

برای اینکه بتوان ملاک‌های مناسبی برای فرض‌های آماری به وجود آورد، لازم است که فرض‌های مقابل را هم فرمول بندی کنیم؛ مثلاً در مثالی که در آن با طول عمر لاستیک سر و کار داشتیم، می‌توانیم این فرض مقابل را فرمول بندی کنیم که پارامتر ${\displaystyle \theta }$

مفهوم فرض‌های ساده و مرکب در مورد فرض‌های بالا نیز به کار می‌رود، و در مثال اول اینک می‌توانیم بگوییم که فرض مرکب ${\displaystyle \theta ⩾22000}$

پیدایش اصطلاح فرض صفر

آمار دانان اغلب، به عنوان فرض‌های خود، ضد آنچه را که به باور آن‌ها درست است بیان می‌کنند؛ مثلاً، اگر بخواهیم نشان دهیم که دانش آموزان یک مدرسه بهره هوشی بالاتری نسبت به مدرسه دیگری دارند، می‌توانیم این فرض را فرمول بندی کنیم که تفاوتی در بین نیست، یعنی اینکه ${\displaystyle {\mu }_1={\mu }_2}$

به همین نحو، اگر بخواهیم نشان دهیم که نوعی سنگ معدن، محتوی درصد اورانیوم بیشتری نسبت به سنگ معدن دیگری است، می‌توانیم این فرض را فرمول بندی کنیم که این درصدها یکسان است؛ و اگر بخواهیم نشان دهیم که تغییرپذیری بیشتری در کیفیت یک محصول نسبت به محصول دیگری وجود دارد، می‌توانیم این فرض را فرمول بندی کنیم که هیچ تفاوتی در بین نیست، یعنی اینکه ${\displaystyle {\sigma }_1={\sigma }_2}$

با توجه به فرض‌های عدم تفاوت، فرض‌هایی نظیر این‌ها به پیدایش اصطلاح فرض صفر منجر شدند، گرچه امروزه این اصطلاح به هر فرض ای اطلاق می‌شود که می‌خواهیم آن را آزمون کنیم.

با رجوع به مثال سوم در بالا، فرض کنید که سازنده داروی جدید می‌خواهد فرض صفر ${\displaystyle \theta =0.90}$

ناحیه قبول برای ${\displaystyle H_0}$

${\displaystyle \alpha =\mathrm{P}(X\le 14;\theta =0.90)=0.0114}$

و

${\displaystyle \beta =\mathrm{P}(X>14;\theta =0.60)=0.1255}$

یک آزمون خوب آن است که در آن ${\displaystyle \alpha }$

• پی-مقدار
• آزمون تی استیودنت
• آزمون اف
• آزمون خطای استاندارد میانگین
• آزمون ویلکاکسون
• آر (زبان برنامه‌نویسی)