کمانش

نسبت طول مؤثر ستون به حداقل شعاع چرخش مقطع عرضی را ضریب لاغری گویند که با حرف یونانی λ نمایش داده می‌شود. با استفاده از این ضریب، ستون‌ها و نوع شکست ایجاد شده در آن‌ها دسته‌بندی می‌شوند. ضریب لاغری در ملاحظات طراحی فاکتور مهمی است. تمام ارزش‌های تقریبی زیر برای ساده‌سازی مسئله به کار می‌رود:

اگر باری در یک ستون از مرکز گرانش (مرکز) سطح مقطع آن ستون اعمال شود، به آن نیروی محوری گویند؛ هر نیرویی که از نقطه‌ای غیر از این نقطه وارد شود به آن نیروی خارج از مرکز گویند. یک ستون کوتاه تحت نیروی محوری ممکن است قبل از اینکه در آن کمانشی ایجاد شود، شکست نماید، اما، در یک ستون بلند تحت بار مشابه، به صورت جهش ناگهانی جانبی (کمانش) به حالت خمشی، دچار شکست خواهد شد.

حالت کمانشی تغییر شکل، حالت شکست در نظر گرفته می‌شود و معمولاً قبل از اینکه تنش فشاری محوری (فشار مستقیم) سبب تسلیم و در نهایت شکست عضو فشاری شود، اتفاق می‌افتد. همچنین، طول متوسط ستون تحت تأثیر ترکیبی از تنش فشاری مستقیم و خمش، دچار شکست خواهد شد.

ستون کوتاه، ستونی است که ضریب لاغری آن از ۵۰ تجاوز نکند.

ستون با طول متوسط ستونی است که ضریب لاغری آن بین ۵۰ تا ۲۰۰ باشد و رفتار آن به مقاومت محدود مصالح تشکیل دهنده آن وابسته است.

در نهایت، ستونی با ضریب لاغری بالای ۲۰۰، ستونی بلند خواهد بود و رفتار آن تحت تأثیر مدول الاستیسیته مصالح تشکیل دهندهٔ آن قرار دارد.

در تعریف دیگر، ستون کوتاه، نسبت طول فاقد تکیه‌گاه به حداقل بعد مقطع جانبی برابر یا کمتر از ۱۰ است. اگر این نسبت بزرگتر از ۱۰ باشد، ستون بلند در نظر گرفته می‌شود (گاهی ستون لاغر نیز نامیده می‌شود).

تئوری رفتار ستون‌ها توسط ریاضی‌دان و فیزیکدان برجستهٔ سوئیسی، لئونارد اویلر در سال ۱۷۵۷ میلادی مورد تحقیق قرار گرفت. وی رابطه‌ای برای محاسبه حداکثر بار محوری که یک ستون بلند، لاغر و ایدئال بدون اینکه دچار کمانش شود، می‌تواند متحمل شود، ارائه داد.

یک ستون ایده‌آل ستونی است مستقیم، ساخته شده از مصالح همگن و فارغ از تنش اولیه.

زمانی که بار وارده به بار اویلر می‌رسد، که گاهی به آن بار بحرانی نیز می‌گویند، ستون در حالت نامتعادل قرار می‌گیرد. در این شرایط، اعمال کوچکترین بار جانبی، ستون به صورت کاملاً ناگهانی به حالتی جدید جهیده و می‌گوییم ستون دچار کمانش شده‌است. فرمولی که توسط اویلر ارائه شده‌است در ادامه آمده‌است:

${\displaystyle F=\frac{{\mathrm{\Pi }}^{2}EI}{{(\mathrm{K}\mathrm{L})}^2}}$

در رابطه بالا

F: بیشترین بار یا بار بحرانی (بار عمودی در ستون)

E: مدول الاستیسیته

I: ممان اینرسی سطح مقطع ستون

L: طولی از ستون که فاقد تکیه‌گاه است.

K: ضریب طول مؤثر ستون (که مقدار آن به شرایط تکیه‌گاهی انتهایی ستون وابسته است)

اگر دو انتها تکیه گاه غلطکی باشد (چرخش آزاد، لولا شد) در نتیجه K=۱

اگر دو انتها تکیه گاه گیردار (فیکس) باشد در نتیجه K=۰٫۵

اگر یکی گیردار و دیگری غلطکی باشد در نتیجه K=۰٫۷۰۷۱

اگر یک انتها گیردار و انتهای دیگر حرکت جانبی آزاد باشد: K=۲

میزان الاستیسیته بودن مصالح ستون و نه مقاومت فشاری مصالح مشخص‌کننده نیروی کمانشی ستون می‌باشد.

میزان نیروی کمانش به‌طور مستقیم به ممان اینرسی مقطع ستون وابسته است.

شرایط تکیه‌گاهی نیز تأثیر قابل توجهی بر نیروی بحرانی ستون لاغر خواند داشت. شرایط تکیه‌گاهی حالت خمیده شدن ستون را و فاصله میان نقاط عطف در منحنی تغییر شکل ستون را مشخص می‌نمایند.

عامل دیگر تأثیرگذار دیگر در محاسبه نیروی کمانش، نوع مصالح تشکیل دهنده عضو است که باتغییر مدول کشسانی، مقدار این نیرو نیز تغییر خواهد کرد.

فاکتور مؤثر دیگر، طول مؤثر ستون است؛ برای مثال اگر این طول دو برابر شود مقدار این نیرو یک چهارم خواهد شد.

اگر شعاع چرخش (r) به صورت جذر نسبت ممان اینرسی به مساحت سطح مقطع ستون تعریف شود، رابطه بالا به صورت زیر خلاصه می‌شود (I=A.r2)

${\displaystyle \sigma =\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}}=\frac{{\mathrm{\Pi }}^{2}E}{(\frac{\mathrm{KL}}{\mathrm{r}}{)}^2}}$

که L/r همان ضریب لاغری است.

از آنجا که ستون‌های ساختاری معمولاً از طول متوسط برخوردار هستند، فرمول اویلر برای طراحی معمولی کاربرد کمی دارد. مواردی که باعث انحراف از رفتار خالص اویلری ستون می‌شود شامل نقص در هندسه ستون در ترکیب با انعطاف‌پذیری / رفتار کرنش تنشی غیر خطی از مواد ستون است. در نتیجه، تعدادی فرمول تجربی ستونی ایجاد شده‌است که با داده‌های آزمایش‌ها موافق هستند، که همه فرمول‌ها درشان ضریب لاغری وجود دارد. به دلیل عدم اطمینان در رفتار ستون‌ها، برای طراحی، فاکتورهای ایمنی مناسبی در این فرمول‌ها وجود دارد. یکی از این فرمول‌ها فرمول پری رابرتسون است که بار بحرانی کمانش را بر اساس یک انحنای اولیه فرض شده کوچک، برآورد می‌کند، از این رو تراکم بار محوری است. فرمول رانکین گوردون (نامگذاری شده ویلیام جان مکورن رنکین و پری هوگزسورث گوردون (۱۸۹۹–۱۹۶۶)) نیز براساس نتایج تجربی است و نشان می‌دهد که یک ستون با بار F_max دست و پنجه نرم می‌کند.

${\displaystyle \frac{1}{F_{max}}=\frac{1}{F_e}+\frac{1}{F_c}}$

Feبیشترین مقدار نیروی اویلری وارد شده و Fc بیشترین نیروی فشاری وارد شده‌است که این فرمول تخمین مناسبی از F_max را به ما می‌دهد.

صفحه یک سازه ۳ بعدی است که از عرض قابل مقایسه با طول آن تعریف شده‌است و ضخامت آن نسبت به دو بعد دیگر بسیار کوچک است. صفحات نازک، مشابه ستونها، دچار تغییرات ناشی از کمانش می‌شوند زمانی که در معرض بارهای بحرانی قرار بگیرند. با این حال، برخلاف کمانش ستون، صفحات تحت بارهای کمانش می‌توانند بار خود را تحمل کند، به نام کمانش محلی. این پدیده بسیار در سیستم‌های بی شماری سودمند است، زیرا این امکان را برای مهندسی سیستم فراهم می‌کند تا ظرفیت بارگذاری بیشتری را ارائه دهد.

${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^4}+2\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^2\mathrm{\partial }{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{y}^4}=\frac{12\left(1-{\nu }^2\right)}{E{t}^3}\left(-N_x\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}w}{\mathrm{\partial }{x}^2}\right)}$

برای یک صفحه مستطیل شکل، پشتیبانی در امتداد هر لبه، با یک فشار یکنواخت در طول واحد، بارگذاری شده‌است:

داریم:

${\displaystyle w}$

${\displaystyle N_x}$

${\displaystyle E}$

${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle t}$

انحراف را می‌توان به وسیله دو عملگر هارمونیک نشان داد:

${\displaystyle w=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{w}_{mn}\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{n\pi y}{b}\right)}$

داریم:

${\displaystyle m}$

${\displaystyle n}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle b}$

معادله قبلی را می‌توان جایگزین در معادله دیفرانسیلی که قبل تر در آن ${\displaystyle n}$

${\displaystyle N_{x,cr}=k_{cr}\frac{{\pi }^{2}E{t}^3}{12\left(1-{\nu }^2\right)b}}$

داریم:

ضریب کمانش تحت تأثیر جنبه نمونه است ${\displaystyle b}$

با توجه به وجود تنش در سطح منطقه، استرس بحرانی یافت می‌شود:

${\displaystyle {\sigma }_{cr}=k_{cr}\frac{{\pi }^{2}E}{12\left(1-{\nu }^2\right){\left(\frac{b}{t}\right)}^2}}$

از معادلات بدست آمده، می‌توان شباهت نزدیک بین استرس بحرانی برای یک ستون و یک صفحه را مشاهده کرد. به عنوان عرض ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \frac{b_{\text{eff}}}{b}\approx \sqrt{\frac{{\sigma }_{cr}}{{\sigma }_y}\left(1-1.022\sqrt{\frac{{\sigma }_{cr}}{{\sigma }_y}}\right)}}$

داریم:

${\displaystyle b_{\text{eff}}}$

${\displaystyle {\sigma }_y}$

با افزایش تنش، عرض مؤثر همچنان در حال کوچک شدن است. اگر تنش در انتها به تنش تسلیم برسد، صفحه شکست خواهد خورد. این همان چیزی است که به ساختار قفل شده اجازه می‌دهد تا از بارگیری پشتیبانی کند. هنگامی که بار محوری بر روی بار بحرانی در برابر جابجایی ترسیم شود، مسیر اساسی نشان داده می‌شود. این شباهت صفحه را به یک ستون در زیر کمان نشان می‌دهد. با این حال، گذشته از فشار جنجالی، مسیر بنیادی در یک مسیر ثانویه که به سمت بالا منحنی است، شکسته می‌شود و این امکان را فراهم می‌کند که بارهای بالاتری را از بار بحرانی تحمل کنید.

کمانش در ستون‌ها پیش از هرچیز به ضریب لاغری ستون «λ» بستگی دارد. ضریب لاغری عبارت است از نسبت طول مهار نشده ستون به شعاع ژیراسیون. در حالت ایدئال که هیچگونه بار جانبی و خروج از محوریت بار وجود نداشته باشد، میزان بار بحرانی یک ستون فولادی از رابطه زیر بدست می‌آید.

در فرمول فوق K ضریب طول مؤثر ستون بوده و براساس شرایط تکیه گاهی در بالا و پایین ستون با مقادیر زیر جایگزین می‌شود.

ستون دوسر گیردار (مقید) ۰٫۵

ستون یک‌سر گیردار یکسر مفصل (مقید) ۰٫۷

ستون دوسر مفصل (مقید) ۱

ستون یک‌سر گیردار یک‌سر آزاد ۲

همچنین در معادله فوق(E)مدول الاستیسیته فولاد مصرفی، (I)ممان اینرسی مقطع و(L)طول مهار نشده ستون می‌باشند.

می‌توان این گونه کمانش را به صورت تلفیق پاسخ یک عضو تحت فشار به خمش و پیچش عنوان کرد. در طراحی‌های صنعتی، این نوع از کمانش را مد نظر قرار می‌دهند. معمولاً این کمانش در ستون‌های با سطح مقطع باز بیشتر رخ می‌دهد که در نتیجه باعث می‌شود مقاومت پیچشی کمی داشته باشند. تیرهای با سطح مقطع دایروی هیچگاه تحت این کمانش قرار نمی‌گیرند.

هنگامی که یک تیر یک سر گیر دار تحت پیچش باشد، قسمت بالایی آن تحت نیروی فشاری و قسمت پایینی آن تحت نیروی کششی قرار می‌گیرد. اگر تیر در جهت افقی مهار نشده باشد و نیروی پیچشی تا حد بحرانی افزایش یابد، به دلیل کمانش، تیر درجهت افقی خیز پیدا می‌کند (می‌خیزد). تیر با سطح مقطع باز نسبت به پیچش انعطاف‌پذیر تر است، به همین علت کمانش افقی - پیچشی، تیر را تا حد شکست تحت پیچش و خیز در جهت افقی قرار می‌دهد. در تیرهای I شکل (دارای لبه‌های پهن و بلند) خیز باعث پیچش می‌شود، اما در سطح مقطع‌های لبه باریک، مقاومت خمشی کمتر است که باعث می‌شود ای حالت مثل حالت خیز - خمش افقی شود.

استفاده از تیرهایی با سطح مقطع بسته (مثل تیرهای قوطی شکل مربعی) به دلیل سختی پیچشی بالای آن‌ها، باعث کاهش تأثیرات کمانش افقی - پیچشی می‌شوند.

هنگام محاسبه کمانش افقی - پیچشی، از ضریب تبدیل (${\displaystyle C_b}$

${\displaystyle C_b=\frac{12.5M_{m}ax}{2.5M_{m}ax+3M_A+4M_B+3M_c}}$

که در این فرمول:

${\displaystyle M_{m}ax}$

${\displaystyle M_A}$

${\displaystyle M_B}$

${\displaystyle M_C}$

هنگامی که مقدار بارگذاری فشاری نزدیک اندازهٔ بارگذاری کمانش شود، سازه به‌طور قابل توجهی خم می‌شود و رفتار ماده سازنده ستون از حالت خطی تنش-کُرنش تفاوت پیدا می‌کند. رفتار تنشی-کُرنشی مواد حتی در نواحی زیر نقطه تسلیم نیز کاملاً خطی نیست، به همین دلیل با افزایش تنش، مدول کشسانی کاهش پیدا می‌کند. این باعث کاهش مقاومت کمانش سازه می‌شود.

مقطع‌هایی که از صفحات لبه دار تشکیل شده‌اند، پس از کمانش، همچنان قادر به تحمل بارگذاری در گوشه‌های لبه‌های خود هستند، اصطلاح لهیدگی به شکست کل مقطع گفته می‌شود.