میان-همبستگی

برای توابع پیوسته ${\displaystyle f}$

که معادل است با

${\displaystyle (f\star g)(\tau )\triangleq {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\overline{f(t-\tau )}g(t)dt}$

که در آن ${\displaystyle \overline{f(t)}}$

اگر ${\displaystyle f}$

که معادل است با

${\displaystyle (f\star g)(\tau )\triangleq {\int }_{t_0}^{t_0+T}\overline{f(t-\tau )}g(t)dt}$

به صورت مشابه، برای توابع گسسته، میان-همبستگی به این صورت تعریف می‌شود:

که معادل است با

${\displaystyle (f\star g)[n]\triangleq \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\overline{f[m-n]}g[m]}$

.

برای توابع گسسته محدود ${\displaystyle f,g\in {\mathbb{C}}^N}$

که معادل است با

${\displaystyle (f\star g)[n]\triangleq \sum _{m=0}^{N-1}\overline{f[(m-n{)}_{\text{mod}N}]}g[m]}$

.

برای توابع گسسته محدود ${\displaystyle f\in {\mathbb{C}}^N}$

که در آن ${\displaystyle K_g=[k(g,T_0(g)),k(g,T_1(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]}$

بخصوص، ${\displaystyle T_i(\cdot )}$

شرح

به عنوان مثال، دو تابع با مقدار حقیقی ${\displaystyle f}$

با توابع مختلط-مقدار ${\displaystyle f}$

در اقتصادسنجی، گاهی به میان-همبستگی تأخیری میان-خودهمبستگی (به انگلیسی: cross-autocorrelation) می‌گویند.

ویژگی‌ها

تعریف

برای بردارهای تصادفی ${\displaystyle \mathbf{X}=(X_1,\dots ,X_m{)}^{\mathrm{T}}}$

و که ابعاد دارد. اگر به صورت مولفه‌وار بخواهیم بنویسیم:

لازم نیست بردارهای ${\displaystyle \mathbf{X}}$

مثال

برای مثال، اگر ${\displaystyle \mathbf{X}={\left(X_1,X_2,X_3\right)}^{\mathrm{T}}}$

تعریف برای بردارهای تصادفی مختلط

اگر ${\displaystyle \mathbf{Z}=(Z_1,\dots ,Z_m{)}^{\mathrm{T}}}$

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathbf{Z}\mathbf{W}}\triangleq \mathrm{E}[\mathbf{Z}{\mathbf{W}}^{\mathrm{H}}]}$

که در آن ${\displaystyle {}^{\mathrm{H}}}$

در تحلیل سری زمانی و آمار، میان-همبستگی برای یک جفت از فرایندهای تصادفی برابر همبستگی بین مقادیر فرایندها در زمان‌های متفاوت، به عنوان یک تابع از دو زمان است. اگر فرض کنیم ${\displaystyle (X_t,Y_t)}$

تابع میان-همبستگی

فرض کنید که فرایند دارای میانگین‌های ${\displaystyle {\mu }_X(t)}$

که در آن ${\displaystyle \mathrm{E}}$

تابع میان-همبستگی

با تفریق میانگین قبل از ضرب، منجر به ایجاد میان-کوواریانس بین زمان‌های ${\displaystyle t_1}$

توجه کنید که این عبارت برای همه سری‌های زمانی و فرایندها خوش-تعریف نیست، زیرا میانگین یا واریانس ممکن است موجود نباشد.

تعریف برای فرایندهای تصادفی در مفهوم گسترده مانا

فرض کنید ${\displaystyle (X_t,Y_t)}$

تابع میان-همبستگی

یا به صورت معادل

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{XY}(\tau )=\mathrm{E}\left[X_{t-\tau }\overline{Y_t}\right]}$

تابع میان-کوواریانس

یا به صورت معادل

${\displaystyle {\mathrm{K}}_{XY}(\tau )=\mathrm{E}\left[\left(X_{t-\tau }-{\mu }_X\right)\overline{\left(Y_t-{\mu }_Y\right)}\right]}$

که در آن ${\displaystyle {\mu }_X}$

میان-همبستگی برای یک جفت از فرایندهای تصادفی متصل با مفهوم گسترده مانا را توسط میانگین‌گیری ضرب نمونه‌های اندازه‌گیری شده از یک فرایند و نمونه‌های اندازه‌گیری شده از دیگری (و انتقال زمانی آن) قابل تخمین است. نمونه‌های موجود در میانگین می‌تواند یک زیرمجموعه دلخواه از از همه نمونه‌های سیگنال باشد (مثلا نمونه‌های موجود در یک پنجره زمانی محدود یا یک زیرنمونه‌گیری از یکی از سیگنال‌ها). برای تعداد بالایی از نمونه‌ها، این میانگین به میان-همبستگی درست همگرا می‌شود.

نرمال‌سازی

این موضوع در بعضی از رشته‌ها (مثل آمار و تحلیل سری زمانی) معمول است که تابع میان-همبستگی را نرمال‌سازی کنند، تا به یک ضریب همبستگی پیرسون وابسته به زمان برسیم. با این حال، در رشته‌های دیگر (مثل مهندسی) از نرمال‌سازی معمولاً صرف‌نظر می‌شود، و اصطلاح‌های «میان-همبستگی» و «میان-کوواریانس» به جای هم به کار می‌روند.

تعریف میان-همبستگی نرمال‌سازی شده برای یک فرایند تصادفی به این صورت است

${\displaystyle {\rho }_{XX}(t_1,t_2)=\frac{{\mathrm{K}}_{XX}(t_1,t_2)}{{\sigma }_X(t_1){\sigma }_X(t_2)}=\frac{\mathrm{E}\left[\left(X_{t_1}-{\mu }_{t_1}\right)\overline{\left(X_{t_2}-{\mu }_{t_2}\right)}\right]}{{\sigma }_X(t_1){\sigma }_X(t_2)}}$

.

اگر تابع ${\displaystyle {\rho }_{XX}}$

برای فرایندهای تصادفی با مفهوم گسترده مانا، تعریف اینگونه است

${\displaystyle {\rho }_{XY}(\tau )=\frac{{\mathrm{K}}_{XY}(\tau )}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}=\frac{\mathrm{E}\left[\left(X_t-{\mu }_X\right)\overline{\left(Y_{t+\tau }-{\mu }_Y\right)}\right]}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}}$

.

نرمال‌سازی مهم است زیرا هم تفسیرکردن خودهمبستگی به صورت یک همبستگی یک اندازه قدرت وابستگی آماری بدون مقیاس فراهم می‌کند، و هم به این دلیل که نرمال‌سازی تأثیراتی روی ویژگی‌های آماری خودهمبستگی تخمین‌زده شده دارد.

ویژگی‌ها

ویژگی تقارن

برای فرایندهای تصادفی با مفهوم گسترده مانای متصل، تابع میان-همبستگی دارای این ویژگی ویژگی تقارن است:

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{XY}(t_1,t_2)=\overline{{\mathrm{R}}_{YX}(t_2,t_1)}}$

به همان ترتیب برای فرایندهای WSS متصل:

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{XY}(\tau )=\overline{{\mathrm{R}}_{YX}(-\tau )}}$

میان-همبستگی‌ها برای تعیین تأخیر زمانی بین دو سیگنال مفید اند، مثل برای تعیین تأخیر زمانی برای انتشار سیگنالهای صوتی در صول یک آرایه میکروفنی. بعد از محاسبه میان-همبستگی بین دو سیگنال، ماکزیمم (یا مینیمم اگر سیگنال‌ها به صورت منفی همبسته باشند) برای تابع میان-همبستگی، نشان‌دهنده نقطه‌ای در زمان است که سیگنال‌ها به صورت بهینه تراز شده‌اند؛ یعنی تأخیر زمانی بین دو سیگنال توسط آرگومان ماکزیمم، یا arg max برای میان-همبستگی تعیین می‌شود، مثلاً در

${\displaystyle {\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{y}}=\underset{t\in \mathbb{R}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}((f\star g)(t))}$

میان-همبستگی صفر-نرمال‌سازی شده (ZNCC)

برای کاربردهای پردازش تصویر، که در آن روشنایی تصویر و الگو می‌توانند به علت نوردهی یا معرض‌قرارگیری تغییر کنند، می‌توان تصاویر را از اول نرمال‌سازی کرد. این موضوع معمولاً در هر گام با تفریق میانگین و تقسیم بر انحراف معیار انجام می‌شود؛ یعنی، میان-همبستگی یک الگو ${\displaystyle t(x,y)}$

${\displaystyle \frac{1}{n}\sum _{x,y}\frac{1}{{\sigma }_f{\sigma }_t}\left(f(x,y)-{\mu }_f\right)\left(t(x,y)-{\mu }_t\right)}$

.

که در آن ${\displaystyle n}$

در اصطلاح آنالیز تابعی، این موضوع را می‌توان به صورت ضرب نقطه‌ای دو بردار نرمال‌سازی شده تصور کرد؛ یعنی اگر،

${\displaystyle F(x,y)=f(x,y)-{\mu }_f}$

و

${\displaystyle T(x,y)=t(x,y)-{\mu }_t}$

آنوقت مجموع بالا برابر است با

${\displaystyle ⟨\frac{F}{\Vert F\Vert },\frac{T}{\Vert T\Vert }⟩}$

که در آن ${\displaystyle ⟨\cdot ,\cdot ⟩}$

از این رو اگر ${\displaystyle f}$

همبستگی نرمال‌سازی شده یکی از روش‌های استفاده شده برای تطابق الگو است، این فرایندی است که برای یافتن رخداد یک الگو، یا شیء در داخل یک تصویر استفاده می‌شود. این همچنین یک نسخه دو-بعدی برای ضریب همبستگی ضرب-گشتاوری پیرسون است.

میان-همبستگی نرمال‌شده (NCC)

NCC مشابه ZNCC است با این تنها تفاوت که در آن مقدار میانگین محلی برای شدت‌ها تفریق نمی‌شود:

${\displaystyle \frac{1}{n}\sum _{x,y}\frac{1}{{\sigma }_f{\sigma }_t}f(x,y)t(x,y)}$

برای استفاده از میان-همبستگی برای سامانه‌های غیرخطی باید احتیاط کرد. در شرایط معین، که بستگی به ویژگی‌های ورودی دارد، میان-همبستگی بین ورودی و خروجی یک سامانه با داینامیک غیرخطی برای تاثیرهای غیرخطی معین می‌تواند کاملاً ناپیدا است. این موضوع به این دلیل بروز می‌کند که بعضی از گشتاورهای درجه‌دوم می‌تواند برابر صفر باشد، و این موضوع می‌تواند به صورت غیرصحیح پیشنهاد بدهد که یک «همبستگی» کم (در مفهوم وابستگی آماری) بین دو سیگنال وجود دارد، اما دو سیگنال در واقع به صورت قوی توسط دینامیک غیرخطی مرتبط هستند.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Cross-correlation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۹ سپتامبر ۲۰۲۱.