نوسانگر هماهنگ کوانتمی

هامیلتونی و ویژه‌مقادیر انرژی

عملگر هامیلتونی ذره به صورت زیر است:

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,}$

که m جرم ذره, ω فرکانس زاویه‌ای نوسانگر, ∧x عملگر مکان (= x), و ∧p عملگر تکانه است:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\partial \over \partial x}\,.}$

اولین بخش از عملگر هامیلتونی بیانگر انرژی‌های جنبشی ممکن برای ذره است و دومین بخش بیانگر وضعیت‌های ممکن برای انرژی پتانسیل است. با فرض آنکه پتانسیل به زمان وابسته نیست می‌توان معادله شرودینگر مستقل از زمان را نوشت:

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle \,,}$

که E بیانگر انرژی است و با حل این معادله ویژه‌مقداری بدست خواهد آمد و این ویژه مقادیر این معادله است. |ψ⟩ بیانگر ویژه توابع این معادله است.

یکی از روش‌های حل این معادله مانند بسیاری از معادله‌های شرودینگر استفاده از روش‌های طیفی است که این پاسخ را می‌دهد.

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad n=0,1,2,\ldots .}$

که H_n چندجمله‌ای هرمیتی فیزیکی است:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right).}$

ویژه‌مقادیر انرژی هم به صورت زیر است:

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)=(2n+1){\hbar \over 2}\omega .}$

طیف انرژی به سه جهت قابل توجه است: اول اینکه انرژی گسسته است بدین معنی که فقط مقادیر خاصی (ضرایب صحیح به علاوه نیم از ħω) قابل قبول است. دوم اینکه این انرژی به طور یکسانی توزیع شده‌است برخلاف مدل بور یا ذره در جعبه. سوم اینکه کمترین انرژی (انرژی حالت پایه؛ n = 0) برابر با پتانسیل چاه نیست بلکه به اندازه ħω/2 بالای آن است. چرا که ذرات در حالت پایه طبق اصل عدم قطعیت هایزنبرگ نباید انرژی صفر داشته باشند. انرژی نقطه صفر تاثیر مهمی در نظریه میدان‌های کوانتمی و گرانش کوانتمی دارد.

• عملگرهای خلق و فنا
• حالت همدوس