عملگرهای خلق و فنا

در زمینه نوسانگر هارمونیک کوانتوم، ما بار دیگر عملگرهای پله‌ای را به عنوان عملگرهای خلق و فنا در نظر می‌گیریم که کوانتوم ثابت انرژی را به سیستم نوسانگر اضافه یا کم می‌کنند. عملگرهای خلق و فنا برای بوزون‌ها (اسپین صحیح) و فرمیون‌ها (اسپین نیمه صحیح) متفاوت است. زیرا تابع موج آن‌ها دارای خواص هندسی متفاوتی هستند.

نخست مورد ساده‌تر بوزونی نوسانگر هارمونیک کوانتومی را در نظر بگیرید.

${\displaystyle \left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2\right)\psi (x)=E\psi (x)}$

کار را با معادله شرودینگر برای زمان یک بعدی مستقل نوسانگر کوانتومی هارمونیک، شروع کنید:

${\displaystyle x=\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}q}$

و معادله شرودینگر برای نوسانگر می‌شود:

${\displaystyle \frac{\hslash \omega }{2}\left(-\frac{d^2}{d{q}^2}+q^2\right)\psi (q)=E\psi (q)}$

توجه کنید که مقدار ${\displaystyle \hslash \omega =h\nu }$

${\displaystyle -\frac{d^2}{d{q}^2}+q^2=\left(-\frac{d}{dq}+q\right)\left(\frac{d}{dq}+q\right)+\frac{d}{dq}q-q\frac{d}{dq}}$

دو عبارت را می‌توان با در نظر گرفتن تأثیر آن‌ها بر تابع قراردادی (f(q ساده کرد:

${\displaystyle \left(\frac{d}{dq}q-q\frac{d}{dq}\right)f(q)=\frac{d}{dq}(qf(q))-q\frac{df(q)}{dq}=f(q)}$

که بیان می‌کند:

${\displaystyle \frac{d}{dq}q-q\frac{d}{dq}=1}$

بنابراین:

${\displaystyle -\frac{d^2}{d{q}^2}+q^2=\left(-\frac{d}{dq}+q\right)\left(\frac{d}{dq}+q\right)+1}$

و معادله شرودینگر برای نوسانگر با جابجایی معادله بالا و ترتیب مجدد فاکتورگیری از ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \hslash \omega \left[\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{d}{dq}+q\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dq}+q\right)+\frac{1}{2}\right]\psi (q)=E\psi (q)}$

اگر ما تعریف کنیم:

${\displaystyle a^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{d}{dq}+q\right)}$

را به عنوان عملگر خلق یا افزاینده و

${\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dq}+q\right)}$

را به عنوان عملگر فنا یا کاهنده،

سپس معادله شرودینگر برای نوسانگر بدین صورت در می‌آید:

${\displaystyle \hslash \omega \left(a^{†}a+\frac{1}{2}\right)\psi (q)=E\psi (q)}$

این بسیار آسان‌تر از شکل اولیه است. ساده کردن بیشتر این معادله، فرد را قادر می‌سازد تا تمام خواص فهرست بندی شده تا بحال را بدست آورد.

با فرض اینکه

${\displaystyle p=-i\frac{d}{dq}}$

که در آن عملگر "P" همان عملگر تکانه بدون بعد است، خواهیم داشت:

${\displaystyle [q,p]=i}$

و

${\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}(q+ip)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(q+\frac{d}{dq}\right)}$

${\displaystyle a^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}(q-ip)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(q-\frac{d}{dq}\right)}$

توجه داشته باشید که این‌ها بیان می‌کنند:

${\displaystyle [a,a^{†}]=\frac{1}{2}[q+ip,q-ip]=\frac{1}{2}([q,-ip]+[ip,q])=\frac{-i}{2}([q,p]+[q,p])=1}$

در مقایسه با عملگرهای به اصطلاح نرمال ریاضی، که نماد مشابه‌ای دارند (e.g. ${\displaystyle A=W_1+i{W}_2),}$

بنابر این اگرچه در مورد حاضر وجود دارد رفتار صریح با عملگرهای غیرعادی رابطه تبدیل را می‌دهد، عملگر هامیلتونی می‌تواند بیان شود بعنوان:

${\displaystyle \hat{H}=\hslash \omega (a{a}^{†}-\frac{1}{2}).}$

${\displaystyle \hat{H}=\hslash \omega (a^{†}a+\frac{1}{2}).}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle [\hat{H},a]=-\hslash \omega a.}$

${\displaystyle [\hat{H},a^{†}]=\hslash \omega a^{†}.}$

از این رابطه‌ها می‌توان برای پیدا کردن ویژه حالت نوسانگر هارمونیک کوانتومی استفاده کردو با فرض اینکه ${\displaystyle {\psi }_n}$

${\displaystyle \hat{H}a{\psi }_n=(E_n-\hslash \omega )a{\psi }_n.}$

${\displaystyle \hat{H}{a}^{†}{\psi }_n=(E_n+\hslash \omega )a^{†}{\psi }_n.}$

این مسئله نشان می‌دهد که ${\displaystyle a{\psi }_n}$

این مسئله عملگرهای ${\displaystyle a}$

حالت پایه را می‌توان با این فرض بدست آورد که عملگر کاهنده آن را از بین می‌برد، ${\displaystyle a{\psi }_0=0}$

${\displaystyle a^{†}a{\psi }_0=0=\left(\frac{\hat{H}}{\hslash \omega }-\frac{1}{2}\right){\psi }_0=\left(\frac{E_0}{\hslash \omega }-\frac{1}{2}\right){\psi }_0.}$

تابع موج در طرف راست / عبارت غیر صفر است. این حالت انرژی حالت پایه را می‌دهد: ${\displaystyle E_0=\hslash \omega /2}$

${\displaystyle E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega }$

علاوه بر این می‌توان نشان داد عملگری که در اول ذکر شد یعنی عملگر عددی ${\displaystyle N=a^{†}a,}$

${\displaystyle \hslash \omega (N+\frac{1}{2})\psi (q)=E\psi (q)}$

.

حالت پایه ${\displaystyle {\psi }_0(q)}$

${\displaystyle a{\psi }_0(q)=0}$

.

اگر تابع موج بشکل یک معادله دیفرانسیلی نوشته شود واجد چنین شرایطی خواهد بود:

${\displaystyle q{\psi }_0+\frac{d{\psi }_0}{dq}=0}$

که حل آن بشکل زیر است:

${\displaystyle {\psi }_0(q)=C\exp (-\frac{q^2}{2}).}$

مقدار ثابت c نرمالیزاسیون $\frac{{\displaystyle 1}}{\sqrt[4]{\pi }}$

معادله‌های ماتریسی عملگرهای خلق و فنا بدست آمده از مدل نوسانگر هارمونیک کوانتومی چنین می‌باشند:

با جابجایی به طرف پایین عملگرهای پله‌ای بدست می‌آیند که می‌توان از طریق رابطه‌های ${\displaystyle a_{ij}^{†}=⟨{\psi }_i|{\hat{a}}^{†}|{\psi }_j⟩}$

عملگرهای استنتاج شده در بالا در واقع یک نمونه ویژه از یک طبقه کلی‌تر از عملگرهای خلق و فنا هستند. /ساده‌ترین شکل عملگرها واجد شرایط زیر هستند.

فرض کنید H فضای ذره‌ای هیلبرت است برای بدست آوردن هندسه بوزونی CCR به هندسه به وجود آمده با (a(f به ازای هر f در H مراجعه کنید. عملگر (a(f عملگر فنا است و نقشه (۰)a غیر خطی است. مجاور آن (a(f است که در H خطی است.

برای یک بوزون؛${\displaystyle [a(f),a(g)]=[a^{†}(f),a^{†}(g)]=0}$

${\displaystyle [a(f),a^{†}(g)]=⟨f|g⟩}$

که در آن از علامت برا – کت استفاده می‌کنیم.

برای یک فرمیون ضد جابجایی چنین است:

${\displaystyle \{a(f),a(g)\}=\{a^{†}(f),a^{†}(g)\}=0}$

${\displaystyle \{a(f),a^{†}(g)\}=⟨f|g⟩}$

یک هندسه CAR.

به زبان فیزیکی (a(f یک ذره را در حالت «کت» از بین می‌برد(i.e. annihilates). در حالی که (a(f یک ذره را در حالت «کت» ایجاد می‌کند.

حالت خلأ میدان آزاد وضعیتی بدون ذره است. به عبارتی دیگر:

${\displaystyle a(f)|0⟩=0}$

که در آن «کت صفر» وضعیت خلأ است.

اگر "کت" نرمالیزه شود به‌طوری‌که " براکت =۱ " و سپس (a(f) a(f تعداد ذرات در حالت " کت " را می‌دهد.

وضیح علگرهای خلق و فنا همچنین برای تجزیه و تحلیل معادلات /معمول کنش و واکنش سفید بوده‌است. برای مثال قسمتی که در آن گازی با مولکول‌های A پخش شده و در برخورد واکنش نشان می‌دهد و یک محصول A + A → ∅. را به وجود می‌آورد. برای اینکه ببینیم این نوع واکنش را چگونه می‌توان با فرمول عملگرهای خلق و فنا توضیح داد ذرات ${\displaystyle n_i}$

${\displaystyle a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩}$

و

${\displaystyle a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩}$

این تغییر رابطه جابجایی را حفظ می‌کند.

${\displaystyle [a,a^{†}]=1}$

,

اما به ما این امکان را می‌دهد که رفتار خالص پخش ذرات را بدین شکل بنویسیم:

${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_t|\psi ⟩=-\alpha \sum (2a_i^{†}{a}_i-a_{i-1}^{†}{a}_i-a_{i+1}^{†}{a}_i)|\psi ⟩=-\alpha \sum (a_i^{†}-a_{i-1}^{†})(a_i-a_{i-1})|\psi ⟩}$

دوره واکنش با توجه به اینکه ذرات ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \lambda \sum (a_i{a}_i-a_i^{†}{a}_i^{†}{a}_i{a}_i)}$

بدست می‌آید:

${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_t|\psi ⟩=-\alpha \sum (a_i^{†}-a_{i-1}^{†})(a_i-a_{i-1})|\psi ⟩+\lambda \sum (a_i^2-a_i^{+2}{a}_i^2)|\psi ⟩}$

سایر واکنش‌ها را می‌توان به روشی مشابه در اینجا گنجاند.

این نوع عبارت به ما اجازه می‌دهد که از روش‌های نظری میدان کوانتومی را در تجزیه و تحلیل سیستم‌های واکنش – پخش استفاده کنیم.

در تئوری‌های میدان کوانتومی و مسایل /چندگانه فرد بامجموع عبارات ${\displaystyle {\gamma }_i{a}_i^{\pm },}$

این مسئله برای بوزون‌ها صحت دارد، در حالی که برای فرمیون‌ها جابجاگر بایستی با غیرجابجاگر جایگزین شوند، ${\displaystyle \{a_i^{-},a_j^{+}\}:=a_i^{-}{a}_j^{+}+a_j^{+}{a}_i^{}.}$