ذره در جعبه

ساده‌ترین شکل از مسئله ذره در یک جعبه مدل تک بعدی آن است. در اینجا ذرات ممکن است تنها حرکت به عقب و جلو در امتداد یک خط مستقیم با موانع غیرقابل نفوذ در انتهای جعبه داشته باشند. دیواره‌های یک بعدی جعبه به عنوان مناطق فضا با یک انرژی پتانسیل بی‌نهایت بزرگ شناخته می‌شوند. برعکس داخل جعبه انرژی پتانسیل ثابت و برابر صفر است. این بدان معنی است که نیرویی بر ذره در داخل جعبه وجود ندارد و می‌تواند در آن منطقه آزادانه حرکت کند. مدل انرژی پتانسیل به شکل زیر بیان می‌شود:

که در آن L طول جعبه، x_c است محل مرکز جعبه و x موقعیت ذرات در داخل جعبه است. موارد ساده شامل جعبه در مرکز (x_c = ۰ ) و جعبه منتقل شده‌است (x_c = L/2 ).

تابع موج موقعیت

در مکانیک کوانتم تابع موج، بنیادی‌ترین توصیف ذره است و بقیه اطلاعات ذره شامل موقعیت، تکانه و انرژی از تابع موج آن می‌تواند به دست آید.

تابع موج ذره ${\displaystyle \psi (x,t)}$

${\displaystyle i\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\psi (x,t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{x}^2}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),}$

که در آن ${\displaystyle \hslash }$

درون جعبه نیروی بر ذره اعمال نمی‌شود و بنابرین با آن می‌توان به شکل یک ذره آزاد برخورد کرد:

${\displaystyle \psi (x,t)=[A\sin (kx)+B\cos (kx)]{\mathrm{e}}^{-i\omega t},}$

(1)

که ${\displaystyle A}$

${\displaystyle E=\hslash \omega =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m},}$

که به رابطه پاشش برای ذره آزاد مشهور است.

اندازه (یا دامنه) یک تابع موج در موقعیت خاص به احتمال یافتن ذره در آن موقعیت با رابطه ${\displaystyle P(x,t)=|\psi (x,t){|}^2}$

که

${\displaystyle k_n=\frac{n\pi }{L}}$

,

و

${\displaystyle E_n=\hslash {\omega }_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}}$

,

که در آن n یک عدد صحیح مثبت است (۱٬۲,۳٬۴...). برای یک جعبه منتقل شده (x_c = L/2), پاسخ ساده‌است. ساده‌ترین جواب، ${\displaystyle k_n=0}$

برای بدست آوردن ثابت ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left|A\right|=\sqrt{\frac{2}{L}}.}$

بنابرین، A می‌تواند هر عدد مختلط با قدر مطلق √(2/L) باشد؛ هر دو پاسخ A به یک نتیجه فیزیکی منجر می‌شوند برای همین و به خاطر سادگی فقط، A = √(2/L) استفاده می‌شود.

• Bransden, B. H.; Joachain, C. J. (2000). Quantum mechanics (2nd ed.). Essex: Pearson Education. ISBN 0-582-35691-1.
• Davies, John H. (2006). The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction (6th reprint ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-48491-X.
• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.

• Scienceworld (پتانسیل نامحدود هست)
• 1-D مکانیک کوانتومی اپلت جاوا شبیه‌سازی ذره در یک جعبه به عنوان به خوبی به عنوان دیگر ۱-موارد بعدی.
• 2-D ذرات در یک جعبه اپلت