نمادگذاری نمایه انتزاعی

یک تنسور عمومی همگن، عنصری از ضرب تنسوری کپی‌های V و V است، مانند :

${\displaystyle V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }.}$

هر فاکتور را در این ضرب تنسوری با یک حرف لاتین به صورت نمایه بالایی برای هر فاکتور هموردای V و نمایه پایین برای هر فاکتور پادوردای V برچسب می زنیم، به این ترتیب حاصلضرب را می‌توان به صورت زیر نوشت :

${\displaystyle V^a{V}_b{V}_c{V}^d{V}_e}$

و یا به سادگی:

${\displaystyle {{{V^a}_{bc}}^d}_e.}$

نکته مهم این است که این دو عبارت آخر دقیقا همان شیء عبارت اول را مشخص می‌کنند. تنسورهای این نوع را می‌توان با همان نمادگذاری نمایش داد، مثلا :

${\displaystyle {{{h^a}_{bc}}^d}_e\in {{{V^a}_{bc}}^d}_e=V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }.}$

به‌طور عمومی هرگاه یک فاکتور هموردا و یک فاکتور پادوردا در حاصلضرب تنسوری فضاها موجود باشند، یک نگاشت فشرده سازی(یا اثر) متناظر وجود خواهد داشت. مثلا :

${\displaystyle {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{12}:V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }\to V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }}$

اثر بر دو فضای اول حاصلضرب تنسوری است و

${\displaystyle {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{15}:V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }\to V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V}$

اثر بر فضاهای اول و آخر است.

این عملیات‌های اثر در تنسورها با تکرار نمایه نشان داده می‌شوند. بنابراین نگاشت اثر اول از رابطه زیر به دست می آید :

${\displaystyle {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{12}:{{{h^a}_{bc}}^d}_e\mapsto {{{h^a}_{ac}}^d}_e}$

و دومی از این رابطه :

${\displaystyle {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{15}:{{{h^a}_{bc}}^d}_e\mapsto {{{h^a}_{bc}}^d}_a.}$

• راجر پنروز, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2004, has a chapter explaining it.
• راجر پنروز and ولفگانگ ریدلر, Spinors and space-time, volume I, two-spinor calculus and relativistic fields.