جبر بولی

جبر بول، یک ساختار جبری است که با عناصر مجموعه ${\displaystyle B}$

• مجموعه ${\displaystyle B}$
  نسبت به عملگر ${\displaystyle +}$
  بسته است. یعنی اگر دو مقدار را با هم جمع کنیم، نتیجه عضوی از مجموعه ${\displaystyle B}$
  است.
• مجموعه نسبت به عملگر ${\displaystyle .}$
  بسته است. یعنی اگر دو مقدار را در هر ضرب کنیم، نتیجه عضوی از مجموعه ${\displaystyle B}$
  است.
• عنصر خنثی در مجموعه برای عملگر ${\displaystyle +}$
  برابر با ${\displaystyle 0}$
  است. به‌طوری‌که ${\displaystyle x+0=0+x=x}$
• عنصر خنثی در مجموعه برای عملگر ${\displaystyle .}$
  برابر با ${\displaystyle 1}$
  است. به‌طوری‌که ${\displaystyle x.1=1.x=x}$
• مجموعه برای عملگر ${\displaystyle +}$
  دارای خاصیت جابه‌جایی است. به‌طوری‌که ${\displaystyle x+y=y+x}$
• مجموعه برای عملگر ${\displaystyle .}$
  دارای خاصیت جابه‌جایی است. به‌طوری‌که ${\displaystyle x.y=y.x}$
• عملگر ${\displaystyle .}$
  روی ${\displaystyle +}$
  توزیع‌پذیر است. یعنی ${\displaystyle x.(y+z)=(x.y)+(x.z)}$
• عملگر ${\displaystyle +}$
  روی ${\displaystyle .}$
  توزیع‌پذیر است. یعنی ${\displaystyle x+(y.z)=(x+y).(x+z)}$
• به‌ازای هر عنصر ${\displaystyle x\in B}$
  یک عنصر ${\displaystyle x^{\prime }\in B}$
  وجود دارد. به‌طوری‌که ${\displaystyle x+x^{\prime }=1}$
  و ${\displaystyle x.x^{\prime }=0}$
  است. ${\displaystyle x^{\prime }}$
  به صورت «اکس نات» یا «مکمل اکس» خوانده می‌شود.
• مجموعه ${\displaystyle B}$
  دارای حداقل دو عنصر ${\displaystyle x,y}$
  است به‌طوری‌که ${\displaystyle x\ne y}$
  است.

عملگرهای منها و تقسیم برای جبر بول تعریف نمی‌شوند. در جبر معمول، تعداد نامتناهی از عناصر وجود دارد، اما در جبر بول تنها اعضای مجموعه ${\displaystyle B}$

هر عبارت بولی معتبر، با تعویض عملگرها و عناصر خنثی، باز هم معتبر خواهد بود. یعنی اگر در یک عبارت بولی معتبر (که از اصول اساسی جبر بول ناشی شده) تمام صفرها به یک و تمام یک‌ها به صفر و همینطور تمام ${\displaystyle +}$

در ارزیابی عبارات بولی، باید تقدم عملگرها رعایت شود.

به کمک دیاگرام ون می‌توان رابطه بین متغیرهای یک عبارت بولی را نمایش داد. دیاگرام ون از یک مستطیل تشکیل شده که در داخل آن به‌ازای هر متغیر، یک دایره وجود دارد. تمام نقاط داخل دایره مربوط به یک متغیر است و تمام نقاط خارج از دایره مربوط به مکمل آن متغیر است. در این نمودار، ضرب به صورت اشتراک دایره‌ها و جمع به صورت اجتماع دایره‌ها نمایش داده می‌شود.

جدول درستی که یک جدول ریاضیاتی می‌باشد و از آن در منطق سوده برده شده و برای محاسبه مقادیری که به صورت منطقی expression شده‌اند استفاده می‌شود. تعریف جبر بول: پیدا کردن ساده‌ترین فرم منطقی توابع که به کمترین تعداد گیت و سیم نیاز داشته باشد. تعریف اصولی جبر بول: یک مجموعه مانند B در حالتی که نا مساوی با مجموعه تهی باشد و با دو عمل دو تایی ضرب وجمع و ی. عمل یکتایی پریم و دو عضو صفر و یک را یک جبر بول می‌گوییم.

• ریاضیات گسسته

• طراحی دیجیتال، موریس مانو، ترجمه دکتر حسن سیدرضی و دکتر فرهاد ارومچیان، انتشارات ناقوس
• ریاضیات گسسته و کاربردهای آن (انگلیسی)