جبر

جَبْر، یا جبر و مقابله یا حسابِ جبر و مقابله، شاخه‌ای از ریاضیاتِ دوران اسلامی که موضوع آن استخراج مجهولات از معلومات از راه حل معادلات و با استفاده از روشهای حسابی و هندسی و نیز روشهای خاص این علم است. همچنین این شاخه از ریاضیات به حساب چندجمله‌ایها نیز می‌پردازد. امروزه، در اثر تحولاتی که به‌‌ویژه از سدۀ 19م/ 13ق تاکنون رخ داده، واژۀ جبر بر یکی از علوم ریاضی اطلاق می‌شود که موضوع آن بررسی ساختارهای جبری (گروه، حلقه، هیئت،...) است و حل معادلات و حساب چندجمله‌ایها تنها بخش کوچکی از آن به‌شمار می‌آید. اما ما در این مقاله این واژه را به مفهومی که در دوران اسلامی داشته است، به کار خواهیم برد. 

معنای واژه‌های جبر و مقابله

واژۀ «الجبر» (در فارسی: جبر) نخستین بار در عنوان المختصر فی حساب الجبر والمقابلة اثر محمد بن موسیٰ خوارزمی (ه‍ م) به کار رفته، و پس از آشنایی اروپاییان با این کتاب (نک‍ : دنبالۀ مقاله) با مختصر تغییراتی (مثلاً به صورت algebra در انگلیسی و algèbre در فرانسه) به زبانهای دیگر راه یافته است. این واژه در عربی به معنای شکسته‌بندی و جُبران است، اما خوارزمی آن را بر عمل افزودن جمله‌های مساوی بر دو سوی یک معادله، برای حذف جمله‌هـای منفـی، اطلاق مـی‌کند. واژۀ مقـابلـه ــ کـه آن هم در عنوان کتاب خوارزمی دیده می‌شود ــ به معنای حذف مقادیر مساوی از دو طرف معادله است (مثلاً در این عبارت «فاِذا جبرتَ و قابلتَ...»، خوارزمی، محمدبن موسیٰ، 40). نویسندگان آثار دائرة المعارفی، از جمله محمد بن احمد خوارزمی (د387ق/ 997م) (ص200)، فخرالدین رازی (د606 ق/ 1209م) (ص393)، ابن اکفانی (ص 90)، طاش‌کوپری‌زاده (1/ 327) و حاجی خلیفه (1/ 579) و غالب جبردانان پس از خوارزمی، از جمله کَرَجی (سدۀ 4ق/ 10م)، این واژه را به همین معنی به کار برده‌اند (بلوستا، 74).
ابوکامل (نیمۀ دوم سدۀ 3ق/ 9م) نیز مشتقات واژۀ جبر را به همین معنی به کار می‌برد. مثلاً برای حل معادلۀ 80=20x-100 می‌گوید: «100 درهم را با 20 شیء جبر کن و آن را با 80 جمع کن (فاجبر المائة درهم بالعشرین شیء وزدها بالثمانین)» تا به صورت 100=20x+80 درآید ( الجبر...، 49-50 ، جم‍ ، «طرائف...»، 69: «فیجبَر فیقابَل»).
ابوریحان بیرونی در التفهیم، عمل جبر را به افزودن مقادیر مساوی به دو کفۀ ترازو برای حفظ تعادل آن تشبیه می‌کند (متن عربی، ص 37، متن فارسی، ص 48-49) و در این تمثیل، بی‌آنکه به آن تصریح کند، به اصولِ 

 a = b  ⇒ a + c = b + c

a = b ⇒  a - c = b - c

از اصول متعارف کتاب اصول اقلیدس (نک‍ : هیث، I/ 223) استناد می‌جوید. نصیر الدین طوسی (د 672 ق/ 1273م) (جبر...، 19-20) و غیاث الدین جمشید کاشانی (د 832 ق/ 1429م) (ص 189-190) و ابن غازی مکناسی (د 919ق) (ص 228) نیز جبر و مقابله را به همین صورت تعریف کرده‌اند. با این حال، ابن بنّا (ه‍ م)، هرچند در کتاب خود بخشی را به جبر و مقابله به معنای متعارف آن اختصاص داده، در جای دیگری واژۀ جبر را «اصلاح» معنی می‌کند و آن را به معنی تقسیم مقدار ثابت به ضریب مجهول در معادلۀ  ax=b می‌داند (ص 56؛ نیز نک‍ : قَلَصادی، 151-152). این کاربرد نیز هرچند با معنی متعارف جبر متفاوت است، به نحوی با ریشۀ لغوی این کلمه ارتباط دارد. با این حال، شارح اثر ابن بنا، قلصادی، جبر را به همان معنای اصطلاحی به کار برده است (ص 247). به این دلیلها، نظر صلیبا (نک‍ : سراسر مقاله) که این واژه را مشتق از جَبَرَ به معنای «مجبور کرد» و «ناگزیر کرد» می‌داند و غرض خوارزمی را از آن «بیرون کشیدن» ریشۀ یک معادله می‌شمارد، پذیرفتنی نمی‌نماید.

پیشینۀ علم جبر

مسائلی که یافتن مقدار مجهول در آنها به حل معادلات جبری از درجۀ اول و دوم، و گاه از درجات بالاتر و حتیٰ به حل دستگاهی از معادلات، منجر می شود، از گذشتۀ بسیار دور در تمدنهای گوناگون شناخته بوده است و برخی از مورخان ریشۀ این مسائل را به دورانهای پیش از تاریخ می‌رسانند (وان در وردن، سراسر کتاب). مصریان باستان با دستورِ (الگوریتمِ) حل معادلات درجۀ اول آشنا بودند و بابلیها، از حدود سال 1700ق‌م، نه تنها راه حل معادلات درجۀ اول و دوم را می‌شناختند (نویگباور، 40-42)، بلکه برخی از معادلات از درجات بالاتر، و حتیٰ حالات خاصی از معادلات درجۀ هشتم، را حل می‌کردند (همو، 48). با این حال، آنچه از این تمدنها به دست ما رسیده، فقط مجموعه‌هایی از مسائل عددی است. راه حلها، هرچند در مورد معادلات درجۀ اول و دوم کلیت دارند، در مورد مسائل عددی خاص بیان می‌شوند و معلوم نیست به چه طریق به دست آمده‌اند و در مسائلی که درجۀ آنها از دو بیشتر است، دستورهای حل معادلات تنها در مورد مسائل خاص کاربرد دارند.
از عصر زرین ریاضیات یونانی (سده‌های 5-3ق‌م)، هیچ اثری در زمینۀ جبر به دست ما نرسیده است و می‌توان گفت كه اين علم در دوران يونانی شناخته نبوده است. علاقۀ ریاضی‌دانان یونانی به برهان دقیق، و نیز کشف کمیات ناهمسنجه توجه ایشان را یکسره به هندسه معطوف کرده بوده است. نظريات فلسفی يونانيان دربارۀ تقسيم‌بندی كميات را می‌توان يكی ديگر از عواملی دانست كه راه را بر پيدايش علم جبر می‌بست. در فلسفۀ یونانی، به صورتی که در آثار ارسطو آمده است و تأثیر آن در آثار ریاضی‌دانان یونانی چون اقلیدس و ارشمیدس و آپولونیوس دیده می‌شود، کمیتها به دو دستۀ کاملاً متمایز تقسیم می‌شوند: 1. اعداد، که منظور از آن اعداد طبیعی است؛ 2. مقادیر، که کمیات هندسی (طول و سطح و حجم) و زمان‌اند. در این تقسیم‌بندی مفهوم کلی «عدد حقیقی» (شامل اعداد گویا و گنگ) وجود ندارد، اعداد گویا (کسرها) به صورت «نسبت»هایی میان اعداد طبیعی تعریف می‌گردند و موجوداتی که امروزه عدد گُنگ نامیده می‌شوند، با پاره‌خط، و نسبت میان آنها با نسبت میان پاره‌خطها، نمایش داده می‌شود. با این حال، وجود برخی روشها در کتاب مخروطات آپولونیوس (سدۀ 3ق‌م) و برخی از قضایا در مقالات دوم و ششم و دهم کتاب اصول اقلیدس (تألیف: ح 300ق‌م) گروهی از مورخان را معتقد کرده است که یونانیان از نوعی جبر هندسی استفاده می‌کرده‌اند. اصطلاح «جبر هندسی» را نخستین بار ریاضی‌دان دانمارکی زویتِن در کتاب خود به نام «نظریۀ مقاطع مخروطی در دوران باستان» ابداع کرده است. زویتن دریافت که در کتاب مخروطات آپولونیوس، خواص اصلی مقاطع مخروطی از راه عملیاتی بر روی پاره‌خطها از یک سو، و سطوح از سوی دیگر، بیان شده است که همان خواص جمعی و ضربی را دارند که امروزه در کتابهای جبر آموخته می‌شود (وان در وردن، 75). 
هواداران نظریۀ جبر هندسی معتقدند که برخی از قضایای کتاب اصول اقلیدس بیان هندسی پاره‌ای از روابط و اتحادهای جبری است و برخی از ترسیمهای این کتاب در واقع صورت مبدل معادلات جبری‌اند (اونگارو، 389). مثلاً اگر در قضیۀ اول از مقالۀ دوم اصول (نک‍ : هیث، I/ 375)، پاره‌خطها را با a و b و c و... نمایش دهیم، این قضیه خاصیت پخش‌پذیری جمع نسبت به ضرب، یعنی رابطۀ ...+a (b+c+...) = ab+ac را بیان می‌کند. همچنین اگر در قضیۀ چهارم از مقالۀ دوم اصول (همو، I/ 379) طول دو پاره‌خط را با نمادهای a و b نمایش دهیم، این قضیه با اتحاد جبری a+b)2 = a2+b2+2ab) معادل است. همچنین برخی از ترسیمات هندسی مقالۀ ششم کتاب اصول (همو، II/ 257-367) نیز، هرگاه به زبان نشانه‌های جبری ترجمه شوند، به حل معادلاتی از درجۀ یک و دو منجر می‌شوند. اما چنین تعبیری مستلزم اعتقاد به آن است که هر طولی را می‌توان با عددی نمایش داد، در حالی که در سنت یونانی هرچند هر عددی را با طولی نمایش می‌دادند، معتقد نبودند که عکس این عمل هم مجاز است و در برابر هر طولی هم عددی وجود دارد. به اين دليل است كه اقليدس اين مسئله را از راه هندسی محض حل می‌كند. 
به همین دلیل، چه در اصول اقلیدس و چه در مخروطات آپولونیوس، مساحت مستطیل هیچ گاه به صورت حاصل ضرب اضلاع آن نشان داده نمی‌شود، بلکه مساحت هر شکل با مساحتی دیگر سنجیده می‌شود. از این رو، هرچند آپولونیوس، در مخروطات، خواص مقاطع مخروطی را از طریق مفهومی به نام نشانه بررسی می‌کند که به مفهوم امروزی معادلۀ مقطع مخروطی بسیار نزدیک است، با این حال، وی همواره نشانه را به صورت برابری دو سطح بیان می‌کند. بنا بر این، تعبیر جبری قضایای فوق توجیهی ندارد. همچنین است مقالۀ دهم اصول، که بسیاری از قضایای پیچیدۀ آن، به زبان جبری، معادل با گویا کردن اعداد گُنگ است. با این حال، مسئلۀ جبر هندسی یونانی و به‌ویژه تعبیر مقالات «جبری» کتاب اصول اقلیدس، در میان مورخان ریاضیات همچنان مورد بحث است. گروهی از مورخان رياضيات مانند هيث و نويگباور و وان در وردن به وجود جبر هندسی يونانی باور دارند و حتیٰ مانند آندره وِی، رياضی‌دان بزرگ فرانسوی (1906-1988م/ 1285-1367ش)، معتقدند كه محتوای مقالات هفتم و هشتم و نهم اصول، «عمدتاً چيزی جز جبر (جبرِ حلقۀ اعداد صحيح) نيست» (وی، 448). گروهی ديگر كه بيشترشان به نسل جديدتری از مورخان رياضی‌ تعلق دارند، كاربرد اين اصطلاح و حتیٰ سخن گفتن از وجود جبر در دورۀ يونانی را روا نمی‌دانند. 
در این میان یک استثناء مهم وجود دارد و آن الحساب دیوفانتوس اسکندرانی است (نک‍ : مل‍‌ ). موضوع این کتاب که تاریخ دقیق تألیفش معلوم نیست، اما احتمالاً در سدۀ 3م تألیف شده (هیث، II/ 448)، «لوژیستیک یا شاخۀ محاسباتی حساب است که در حل مسائل عملی از آن استفاده می‌شود» («زندگی‌نامه...، IV/ 111). در ریاضیات یونانی، «لوژیستیک» که مجموعه‌ای از فنون محاسبه بود، معمولاً در مقابل «فن حساب قرار می‌گرفت که دانشی بُرهانی محسوب می‌شد. الحساب در اصل در 7 مقاله بوده که اصل یونانی مقالات اول تا سوم و ترجمۀ عربی 4 مقالۀ دیگرِ آن در دست است (نک‍ : مآخذ، دیوفانتوس، صناعة الجبر، نیز مل‍ ، الحساب).
این کتاب مجموعه‌ای است از مسائل معین (معادلات یک‌مجهولی، یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها به تعداد معادلات است)، و مسائل نامعین (سیال، یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها بیش از تعداد معادلات است). دیوفانتوس در تنظیم این معادلات ترتیب خاصی را رعایت نکرده است. وی در مورد هر معادله یا هر دستگاه از معادلات، راه حل را عرضه می‌کند و در مورد معادلات سیال جوابهای گویا را به دست می‌آورد و در این کار غالباً به تغییر هوشمندانۀ متغیرها و روشهای بدیع برای کاستن از درجۀ معادلات متوسل می‌شود («زندگی‌نامه»، همانجا). گذشته از این، دیوفانتوس نامهایی برای توانهای مختلف اعداد ابداع کرده است و نیز نخستین نشانه‌‌های مختصرنویسی در جبر (انتخاب برخی از حروف الفبای یونانی برای نمایش توانهای مجهول) در کار او دیده می‌شود. همچنین، دیوفانتوس دو عمل را تعریف می‌کند که برای ساده کردن معادلات انجام می‌گیرند (وان در وردن، 98). یکی از این دو عمل بعدها در کتاب خوارزمی «جبر» و دیگری «مقابله» نام می‌گیرد (EI2, II/ 361). با این حال، تفاوتهای میان اثر دیوفانتوس و خوارزمی به اندازه‌ای است که این دو کتاب را نمی‌توان متعلق به یک سنت دانست و اطلاق «جبر» بر محتوای اتر دیوفانتوس درست نیست (راشد، «خوارزمی...»، 61-64). 
خوارزمی و پیدایش علم جبر: نخستین اثر مستقل در جبر کتابی است از محمد بن موسیٰ خوارزمی که به المختصر فی الحساب الجبر والمقابلة معروف است (هرچند کلمۀ «المختصر» در عنوان آن دیده نمی‌شود) و چنان‌که در کتاب آمده، در زمان خلافت مأمون (بین سالهای 198-218ق/ 814-833 م)تألیف شده است (ص 15-16). با اینکه خوارزمی تصریح می‌کند (ص 16) که هدف او نوشتن کتابی است که در مسائل عملی مربوط به تقسیم میراث و مسّاحی و تجارت به کار آید ــ و بخشهایی از کتاب نیز به این گونه مسائل اختصاص دارد ــ اهمیت این کتاب عمدتاً در ارزش نظری آن است؛ زیرا در این کتاب است که جبر ــ به صورت علمی مستقل با واژگان و مفاهیم و روشهای خاصی که آن را از حساب، به معنای چهار عمل اصلی و اعمالی چون جذرگيری از اعداد صحيح و مثبت، و هندسه متمایز می‌کنند ــ متولد می‌شود. این امر از روشی كه خوارزمی در معرفی موجودات جبری به كار می‌برد پیدا ست.
خوارزمی از روی قیاس با اعداد يك‌رقمی و دو‌رقمی در دستگاه دهگانی، موجوداتی را که در علم جبر به کار می‌رود، تعریف می‌کند. این موجودات عبارت‌اند از «شیء» (مقدار مجهول یا x) که به قیاس با ضریب بخش دهگانی (ضریب 10) در یک عدد دورقمی ساخته می‌شود؛ «مال» (توان دوم مقدار مجهول یا x2) که به قیاس بخش صدگانی (ضریب 102) در یک عدد صدگانی ساخته می‌شود، و عدد یا «درهم» (مقدار معلوم)، که متناظر است با ارقام 1 تا 9 در سلسلۀ اعداد دهگانی. به این ترتیب، موجودات جبری شکل تعمیم‌یافته‌ای از اعداد حسابی به نظر می‌آیند. سپس خوارزمی به تقسیم‌بندی معادلاتی می‌پردازد که از ترکیبهای مختلف این موجودات با یکدیگر حاصل می‌شود. به این طریق 6 دسته معادله، از درجات اول و دوم، به دست می‌آید (همۀ اين اعمال به صورت لفظی بيان می‌شوند، نک‍ : ه‍ د، خوارزمی، محمدبن موسیٰ):

ضریبهای a وb همواره اکیداً مثبت (مثبت و مخالف صفر)‌اند. در نمونه‌هایی که خوارزمی ذکر می‌کند، همۀ ضرایب اعداد صحیح‌اند، اما چنان‌که خواهیم دید، جانشینان او معادلاتی با ضرایب کسری و حتیٰ گُنگ را هم درنظر می‌گیرند.
این 6 معادله، در واقع تمامیِ حالات معادلات درجۀ اول و دوم را، به شرط مثبت بودن ضرایب، نشان می‌دهند. چنانچه معادله‌ای به غیر از یکی از این 6 صورت داده شده باشد، آن را با یکی از دو عمل «جبر» یا «مقابله»، یا با هردو عمل، به یکی از این 6 صورت نرمال تبدیل می‌کنیم. همچنین هرگاه ضریب 2x عددی مخالف یک باشد، با تقسیم طرفین معادله به این عدد، معادله به صورت نرمال درمی‌آید. 
از این معـادلات یکـی (شم‍ 1) از درجۀ اول و یکی دیگر (شم‍ 3) قابل تبدیل به معادلۀ درجۀ اول است و حل معادلۀ شمارۀ 2 به استخراج جذر یک عدد منجر می‌شود. در مورد 3 معادلۀ دیگر، خوارزمی دستورِ (الگوریتمِ) کلیِ حل معادله را به دست می‌دهد، منتها در مورد هر معادله این الگوریتم را با استفاده از یک مثال که آن را «باب» (الگو) می‌نامد، به کار می‌برد. به عنوان مثال، ريشۀ معادلۀ شمارۀ 4 از رابطۀ 

به دست می‌آيد. این معادله همواره یک جواب مثبت دارد. در مورد معادلات شمارۀ 5 و شمارۀ 6 روش خوارزمی اساساً یکسان است، جز اینکه در مورد معادلۀ x2+a=bx قید می‌کند که معادله ممکن است دو جواب مثبت داشته باشد، یا جواب نداشته باشد.

جبر دوجمله‌ایها