مغالطه دادستان

احتمال شرطی

در مغالطه‌ی توسل به کم‌یابی ، توضیح یک پیشامد مشاهده‌شده بعید در نظر گرفته می‌شود زیرا احتمال پیشین آن کم است. مورد زیر را در نظر بگیرید:

یک برنده‌ی بخت‌آزمایی، بر اساس غیرمحتمل بودن برد در آن، به تقلب متهم شده‌است. در دادگاه، دادستان احتمال (بسیار کم) بردن بخت‌آزمایی به شرط تقلب نکردن را حساب می‌کند و استدلال می‌کند که این احتمال، برابر با شانس بی‌گناه بودن متهم است.

ایراد منطقی این استدلال این است که دادستان در در نظر گرفتن تعداد زیاد افرادی که در بخت‌آزمایی شرکت می‌کنند، ناموفق بوده‌است. با این‌که احتمال برد هر فرد به تنهایی تا حدی پایین است، اما احتمال بردن هر فرد در بخت‌آزمایی با داشتن تعداد افرادی که در آن شرکت کرده‌اند، بسیار بالا است.

آزمایش چندگانه

در یک سناریوی دیگر، یک نمونه‌ی دی‌ان‌ای صحنه‌ی جرم با یک بانک اطلاعاتی از ۲۰۰۰۰ نفر مقایسه می‌شود. یکی از داده‌ها با نمونه مطابقت دارد؛ آن فرد متهم شناخته می‌شود و در دادگاهش شهادت داده می‌شود که احتمال این‌که دو دی‌ان‌ای به صورت اتفاقی با هم مطابقت داشته باشند، تنها یک در ده‌هزار است. این به این معنا نیست که احتمال بی‌گناه بودن فرد یک در ده‌هزار است. از آن‌جایی که ۲۰۰۰۰ نفر مورد آزمایش قرار گرفته‌اند، در واقع ۲۰۰۰۰ شانس برای مطابقت اتفاقی وجود داشته‌است.

حتی اگر هیچ‌کدام از افراد موجود در بانک اطلاعاتی مجرم نباشد، احتمال پیدا شدن اتفاقی مطابقت بین نمونه‌ی دی‌ان‌ای و یک فرد بی‌گناه بیش‌تر از احتمال پیدا نشدن آن است. شانس پیدا شدن حداقل یک نمونه‌ی مطابق از بین داده‌ها برابر است با:

${\displaystyle 1-(1-\frac{1}{10000}{)}^{20000}\approx 86\mathrm{\%}}$

پس این مدرک به تنهایی، نتیجه‌ی یک سوء استفاده‌ی ضعیف از داده است. اگر دی‌ان‌ای مجرم در بین داده‌های بانک اطلاعاتی قرار داشت، آن‌گاه دی‌ان‌ای او و احتمالاً یک یا چند فرد دیگر مطابق شناخته می‌شد؛ در هر صورت، چشم‌پوشی از تعداد داده‌های بررسی شده هنگام سنجیدن شواهد یک مغالطه به حساب می‌آید.

سالی کلارک یک وکیل بریتانیایی بود که به اشتباه به قتل دو پسرش محکوم شد. فرزند اول او تنها چند هفته پس از تولد در سال ۱۹۹۶ به طور ناگهانی درگذشت. پس از این‌که فرزند دوم او نیز به همین شکل درگذشت،‌ سالی کلارک در سال ۱۹۹۸ به اتهام قتل دو فرزندش محاکمه شد. یک متخصص اطفال در دادگاه سالی کلارک مدرک آماری اشتباه ارائه کرد. او بیان کرد که احتمال این‌که دو فرزند از یک خانواده‌ی متمول دچار سندروم مرگ ناگهانی نوزاد شوند، یک به روی ${\displaystyle 73}$

جامعه‌ی آماری سلطنتی بعدها با انتشار یک بیانیه‌ی عمومی نگرانی خود را از استفاده‌ی نادرست از آمار در دادگاه‌ها ابراز کرد و استدلال کرد که این ادعا هیچ پایه‌ی آماری نداشته‌است.

گناه‌کار یا بی‌گناه بودن یک فرد را می‌توان به صورت ریاضی به فرم یک دسته‌بندی دوتایی نشان داد. اگر ${\displaystyle E}$

• ${\displaystyle P(E|I)}$
  احتمال آن است که شواهد مشاهده می‌شود حتی اگر متهم بی‌گناه باشد.
• ${\displaystyle P(I|E)}$
  احتمال آن است که با وجود شواهد، متهم بی‌گناه باشد.

طبق شواهد قانونی، ${\displaystyle P(E|I)}$

${\displaystyle P(I|E)=P(E|I).\frac{P(I)}{P(E)}}$

که در آن:

• ${\displaystyle P(I)}$
  برابر است با احتمال بی‌گناهی مستقل از نتیجه‌ی آزمایش (یا بقیه‌ی شواهد)
• ${\displaystyle P(E)}$
  برابر است با احتمال این‌که شواهد مشاهده شوند. (مستقل از بی‌گناهی)

${\displaystyle P(E)=P(E|I).P(I)+P(E|\sim I).(1-P(I))}$

• ${\displaystyle P(E|\sim I)}$
  احتمال آن است که شواهد، مظنون گناه‌کار را شناسایی کند. این احتمال تقریباً نزدیک به ۱۰۰ درصد است؛ که اندکی استنتاج بی‌گناهی را در یک آزمایش به اشتباه منفی افزایش می‌دهد. این نامساوی به طور خلاصه به صورت شانس نشان داده می‌شود:

${\displaystyle Odds(I|E)\ge Odds(I).P(E|I)}$

دادستان مدعی شانس ناچیز بی‌گناهی ، با داشتن شواهد، است؛ یعنی ${\displaystyle Odds(I|E)\to P(I|E)}$

${\displaystyle P(I|E)\approx P(E|I).Odds(I)}$

یکی در نظر گرفتن ${\displaystyle P(E|I)}$

شکل ۱ یک جمعیت مورد توجه از ${\displaystyle 100}$

تعداد افراد مصرف‌کننده‌ی سیگار که به سکته دچار می‌شوند مشخصاً با تعداد افرادی که به سکته‌ی قلبی دچار می‌شوند و مصرف‌کننده‌ی سیگار هستند برابر است. ولی آیا درصد افراد مصرف‌کننده‌ی سیگاری که به سکته‌ی قلبی مبتلا می‌شوند با درصد افراد مشکوک به ابتلا به سکته‌ی قلبی که سیگار می‌کشند برابر است؟ با توجه به شکل ۱، جواب به طور واضح منفی است. احتمال این‌که شما یک مصرف کننده‌ی سیگار باشید با داشتن این‌که شما مشکوک به ابتلا به سکته‌ی قلبی هستید، یا به عبارت دیگر ${\displaystyle P(Smoker|MI)}$

${\displaystyle P(MI|Smoker)=\frac{4}{25}=0.16}$

این دو عدد با هم یکی نیستند و فرض کردن این‌که این دو احتمال در واقع یکی هستند،‌ همان مغالطه‌ی دادستان است. به صورت بصری، کسری از خانه‌های خاکستری که راه‌راه هستند، با کسری از خانه‌های راه‌راه که خاکستری هستند یکی نیست.

• پارادوکس مثبت کاذب
• پارادوکس سیمپسون
• تابع درست‌نمایی

1. ↑ Bird and Ladyman, Arguing about Science - Bird & Ladyman, 756.
2. ↑ Zenker, Bayesian Argumentation: The practical side of probability, 95.
3. ↑ Roberts and Zuckerman, Criminal Evidence, 160.
4. ↑ Bird and Ladyman, Arguing about Science - Bird & Ladyman, 756.
5. ↑ "Sally Clark". Wikipedia (به انگلیسی). 2018-12-12.
6. ↑ "Roy Meadow". Wikipedia (به انگلیسی). 2018-09-12.
7. ↑ «Prosecutor's Fallacy». www.statisticalconsultants.co.nz. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۱۲-۲۸.
8. ↑ "Binary classification". Wikipedia (به انگلیسی). 2018-09-17.
9. ↑ Iliinsky, Noah; Westreich, Daniel (2014-05-01). "Epidemiology Visualized: The Prosecutor's Fallacy". American Journal of Epidemiology (به انگلیسی). 179 (9): 1125–1127. doi:10.1093/aje/kwu025. ISSN 0002-9262.

• Roberts, P.; Zuckerman, A. (2010). Criminal Evidence (به انگلیسی). OUP Oxford. Retrieved 2014-10-11.
• Bird, A.; Ladyman, J. (2012). Arguing about Science - Bird & Ladyman. Arguing About Philosophy (به انگلیسی). Taylor & Francis. Retrieved 2014-10-11.
• Zenker, F. (2012). Bayesian Argumentation: The practical side of probability. Synthese Library (به انگلیسی). Springer. Retrieved 2014-10-11.