معیار پایداری راث-هرویتز

این معیار مربوط به قضیه راث-هورویتز است. از بیان آن قضیه، ما داریم ${\displaystyle p-q=w(+\mathrm{\infty })-w(-\mathrm{\infty })}$

• ${\displaystyle p}$
  تعداد ریشه‌های چندجمله‌ای ${\displaystyle f(z)}$
  با قسمت حقیقی منفی است؛
• ${\displaystyle q}$
  تعداد ریشه‌های چندجمله‌ای ${\displaystyle f(z)}$
  با قسمت حقیقی مثبت (طبق قضیه ، ${\displaystyle f}$
  قرار است هیچ ریشه ای روی خط موهومی نباشد) است.
• w(x) تعداد تغییرات زنجیره استورم تعمیم یافته است که از${\displaystyle P_0(y)}$
  و${\displaystyle P_1(y)}$
  بدست می‌آید (توسط تقسیمات اقلیدوسی متوالی) که${\displaystyle f(iy)=P_0(y)+i{P}_1(y)}$
  برای Y حقیقی است.

با توجه به قضیه اساسی جبر، هر چند جمله ای درجه n باید دارای n ریشه در صفحه مختلط باشد (یعنی برای یک ƒ بدون ریشه در خط موهومی، p + q = n) بنابراین، این شرط را داریم که ƒ یک چندجمله‌ای پایدار (هرویتز) است اگر و فقط اگر p - q = n باشد(اثبات در زیر آورده شده‌است) با استفاده از قضیه راث-هرویتز، می‌توان شرط p و q را با زنجیره استورم تعمیم یافته جایگزین کرد، که به نوبه خود شرط ضرایب ƒ را خواهد داد.

مثال مرتبه-بالاتر

وقتی بدست آوردن ریشه‌های چندجمله‌ای مشخصه مرتبه بالاتر دشوار است می‌توان از روش جدولی برای تعیین پایداری استفاده کرد. برای یک چندجمله‌ای درجه n ام

• ${\displaystyle D(s)=a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}$

جدول دارای n + 1 ردیف و ساختار زیر است:

که در آن عناصر ${\displaystyle b_i}$

• ${\displaystyle b_i=\frac{a_{n-1}\times a_{n-2i}-a_n\times a_{n-(2i+1)}}{a_{n-1}}.}$
• ${\displaystyle c_i=\frac{b_1\times a_{n-(2i+1)}-a_{n-1}\times b_{i+1}}{b_1}.}$

پس از اتمام، تعداد تغییرات علامت در ستون اول تعداد ریشه‌های غیر منفی خواهد بود.

در ستون اول، دو تغییر علامت وجود دارد (۰٫۷۵ → ۳−، و ۳ → ۳−)، بنابراین دو ریشه غیرمنفی وجود دارد که سیستم ناپایدار است.

معادله مشخصه سیستم سروو داده‌شده‌است توسط:

• ${\displaystyle b_0{s}^4+b_1{s}^3+b_2{s}^2+b_{3}s+b_4=0}$

برای پایداری، تمام عناصر ستون اول آرایه راث باید مثبت باشند؛ بنابراین شرایطی که برای پایداری سیستم داده شده باید ارضاء شود به شرح زیر فراهم شود:

${\displaystyle b_1>0,b_1{b}_2-b_0{b}_3>0,(b_1{b}_2-b_0{b}_3)b_3-b_1^2{b}_4>0,b_4>0}$

می‌بینیم که اگر

${\displaystyle (b_1{b}_2-b_0{b}_3)b_3-b_1^2{b}_4\ge 0}$

سپس

${\displaystyle b_1{b}_2-b_0{b}_3>0}$

ارضاء شده‌است.

• ${\displaystyle s^4+6s^3+11s^2+6s+200=0}$

جدول زیر را داریم:

دو تغییر علامت وجود دارد این سیستم ناپایدار است، زیرا دارای دو قطبِ نیم-صفحه-راست و دو قطبِ نیم-صفحه-چپ است. از آنجا که یک ردیف صفر در جدول راث ظاهر نمی‌شود، سیستم نمی‌تواند قطب‌های jω داشته باشد.

• ${\displaystyle s^6+2s^5+8s^4+12s^3+20s^2+16s+16=0.}$

جدول زیر را داریم:

در چنین حالتی چندجمله‌ای کمکی ${\displaystyle A(s)=2s^4+12s^2+16.}$

• فایل‌اجرایی متلب که محک راث-هرویتز را اجرا می‌کند
• اجرای آنلاین معیار راث-هرویتز