ماتریس تصادفی

یک ماتریس تصادفی زنجیره مارکوف ${\displaystyle X_t}$

اگر احتمال حرکت از حالت ${\displaystyle i}$

با توجه به اینکه مجموع احتمال گذار از حالت ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \sum _j{P}_{i,j}=1.}$

حاصل ضرب دو ماتریس تصادفی راست نیز یک ماتریس تصادفی راست است. به ویژه توان ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\left(P^2\right)}_{i,j}.}$

در کل احتمال انتقال رفتن از هر حالت به حالت دیگر در زنجیره مارکوف با ماتریس ${\displaystyle P}$

توزیع اولیه با بردار سطری نمایش داده می‌شود.

بردار احتمال مانا ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \mathit{\pi }P=\mathit{\pi }.}$

شعاع طیفی راست هر ماتریس تصادفی راست حداکثر ${\displaystyle 1}$

از سوی دیگر قضیه پرون-فربنیوس تضمین می‌کند که هر ماتریس تصادفی کاهش ناپذیر چنین بردار مانایی دارد و اندازه مطلق بزرگترین مقدار ویژه اش همیشه ${\displaystyle 1}$

به‌طور کلی ممکن است چندین بردار مانا وجود داشته باشند. هرچند، برای ماتریس با مقادیر مثبت آرایه (یا به‌طور کلی تر برای ماتریس تصادفی کاهش ناپذیر غیرپریودیک) این بردار منحصر به فرد است و با استفاده از حد زیر می‌توان آن را بدست آورد:

${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(P^k\right)}_{i,j}={\mathit{\pi }}_j,}$

که ${\displaystyle {\pi }_j}$

به‌طور شهودی، یک ماتریس تصادفی، نشان دهنده یک زنجیره مارکوف است؛ با اعمال ماتریس تصادفی به توزیع احتمال، جرم احتمال توزیع اولیه را با حفظ جرم کلی مجدداً توزیع می‌کند. اگر این روال برای زنجیره مارکوف به صورت مداوم تکرار شود، توزیع به توزیع مانا همگرا خواهد شود.

فرض کنید شما یک تایمر و یک ردیف از پنج جعبه مجاور دارید؛ در زمان صفر یک گربه در جعبه اول و یک موش در جعبه پنجم قرار گرفته‌اند. با جلو رفتن زمان تایمر، گربه و موش هر دو به صورت تصادفی پرشی به یکی از جعبه‌های مجاورشان خواهند داشت. برای مثال اگر گربه در جعبه دوم و موش در جعبه چهارم باشد، احتمال اینکه با گذر یک مرحله از زمان تایمر، گربه در جعبه اول و موش در جعبه پنجم قرار گیرد یک چهارم است. اگر گربه در جعبه اول و موش در جعبه پنجم باشد، با احتمال ${\displaystyle 1}$

زنجیره مارکوفی این بازی ${\displaystyle 5}$

• حالت ${\displaystyle 1}$
  : ${\displaystyle (1,3)}$
• حالت ${\displaystyle 2}$
  : ${\displaystyle (1,5)}$
• حالت ${\displaystyle 3}$
  : ${\displaystyle (2,4)}$
• حالت ${\displaystyle 4}$
  : ${\displaystyle (3,5)}$
• حالت ${\displaystyle 5}$
  : انتهای بازی: ${\displaystyle (2,2)}$
  ، ${\displaystyle (3,3)}$
  و ${\displaystyle (4,4)}$
  .

برای نمایش احتمال انتقال این سیستم از ماتریس تصادفی استفاده می‌کنیم (سطرها و ستون‌های این ماتریس با شماره حالات ممکن ذکر شده در بالا شماره گذاری شده‌اند. حالت قبل از انتقال به صورت ردیف و حالت پس از انتقال به صورت ستون در نظر گرفته می‌شود).

میانگین‌های دراز مدت

حالت اولیه گربه هر حالتی که باشد، در نهایت گربه موش را می‌گیرد (با احتمال ${\displaystyle 1}$

نمایش فاز-نوع

حالت ${\displaystyle 5}$

${\displaystyle \mathit{\tau }=[0,1,0,0]}$

و

${\displaystyle (I-T{)}^{-1}\mathbf{1}=\left[\begin{array}{c}2.75\\ 4.5\\ 3.5\\ 2.75\end{array}\right],}$

که در آن ${\displaystyle I}$

از آن جایی که هر حالت فقط برای یک مرحله زمانی اشغال خواهد شد، زمان مورد انتظار بقای موش جمع احتمال اشغال روی تمام حالات بقا و مراحل زمانی است.

${\displaystyle E[K]=\mathit{\tau }(I+T+T^2+\cdots )\mathbf{1}=\mathit{\tau }(I-T{)}^{-1}\mathbf{1}=\mathrm{4.5.}}$

ممان‌های مرتبه بالاتر با عبارت زیر تعیین می‌شوند

${\displaystyle E[K(K-1)\dots (K-n+1)]=n!\mathit{\tau }(I-T{)}^{-n}{T}^{n-1}\mathbf{1}.}$

• نامساوی مویرهد
• قضیه پرون-فربنیوس
• ماتریس چگالی
• ماتریس تصادفی دوگانه
• توزیع فاز-نوع گسسته
• اتوماتای احتمالاتی
• مدل‌های سیر تکاملی دی‌ان‌ای
• کرنل مارکوف هم ارز ماتریس تصادفی در فضای حالت پیوسته

• G. Latouche, V. Ramaswami. Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling, 1st edition. Chapter 2: PH Distributions; ASA SIAM, 1999.