حساب کاربری
​
تغیر مسیر یافته از - فرم شبه مدولار
زمان تقریبی مطالعه: 2 دقیقه
لینک کوتاه

فرم ماک ماژولار

در ریاضیات، فرم ماک ماژولار (به انگلیسی: Mock Modular Form)، بخش هولومورفیک از یک فرم ماس (Maass Form) ضعیف هارمونیک بوده و یک تابع تتای ماک اساساً فرم ماژولار ماکی با وزن 1/2 است. اولین مثال‌ها از توابع تتای ماک توسط سرینیواسا رامانوجان در آخرین نامه‌اش در سال ۱۹۲۰ به گ.هـ. هاردی و در دفترچهٔ گم‌شده‌اش توصیف شده‌است. سندر زووگرز (Sander Zwegers) کشف نمود که افزودن برخی از توابع غیر-هولومورفیک بهشان، آن‌ها را تبدیل به فرم‌های ماس ضعیف می‌کند.

فهرست

  • ۱ تاریخچه
  • ۲ ارجاعات
  • ۳ منابع
  • ۴ برای مطالعه بیشتر
  • ۵ پیوند به بیرون

تاریخچه

«فرض کنید تابعی به فرم اویلری وجود داشته و فرض کنید که تمام نقاط یا بی‌نهایت از آن‌ها، نقاط تکین نمایی باشند، و همچنین فرض کنید که در این نقاط، فرم مجانبی با همان ترتیب و سادگی موارد (A) و (B) نزدیک شود. حال سؤال این است که: آیا این تابع به صورت جمع دو تابعی است که یکی از آن‌ها تابع θ

و دیگری تابع (بدیهی) O ( 1 )
در تمام نقاط e 2 m π i / n
می‌باشد؟ … وقتی چنین نباشد، من به این تابع، تابع θ
ی ماک می‌گویم.»

تعریف اصلی رامانوجان از تابع تتای ماک

نامه ۱۲ ژانویه ۱۹۲۰ میلادی رامانوجان به هاردی، ١٧ مثال از توابعی را که او به نام توابع تتای ماک می‌نامید، فهرست کرده، و دفترچه گم‌شده اش شامل چندین مثال دیگر نیز می‌باشد (منظور رامانوجان از اصطلاح «تابع تتا»، چیزیست که امروزه به یک فرم ماژولار معروف است). رامانوجان اشاره کرد که این توابع دارای بسط مجانبی در کاسپ‌ها بوده، که با فرم‌های ماژولاری با وزن شباهت داشته، به طوری که احتمالاً دارای قطب‌هایی در کاسپ‌ها بوده اما نمی‌توان آن‌ها را برحسب توابع تتای «معمولی» نوشت. او توابعی با خواص مشابه را «توابع تتای ماک» نامید. زووگرز (Zwegers)، بعدها ارتباط تابع تتای ماک با فرم‌های ماس ضعیف کشف نمود.

رامانوجان به توابع تتای ماکش، مرتبه (order) نسبت داد، که تعریف واضح و مشخصی نداشت. قبل از کار زووگرز، مراتب توابع تتای ماک شناخته شده شامل این موارد بودند:

3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10.

مفهوم رامانوجان از مرتبه، بعدها تبدیل به کونداکتورِ کاراکتر نبنتیپوس (Nebentypus character) با فرم‌های ماس هارمونیک از وزن شد که توابع تتای ماک رامانوجان را به عنوان تصویرهای هولومورفیک می‌پذیرند.

ارجاعات

  1. ↑ Zwegers 2001.
  2. ↑ Zwegers 2002.
  3. ↑ Ramanujan 2000, Appendix II.
  4. ↑ Ramanujan 1988.
  5. ↑ 1 & 2.

منابع

  • Andrews, George E. (1966), "On the theorems of Watson and Dragonette for Ramanujan's mock theta functions", American Journal of Mathematics, 88 (2): 454–490, doi:10.2307/2373202, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373202, MR 0200258
  • Andrews, George E. (1986), "The fifth and seventh order mock theta functions", Transactions of the American Mathematical Society, 293 (1): 113–134, doi:10.2307/2000275, ISSN 0002-9947, JSTOR 2000275, MR 0814916
  • Andrews, George E. (1988), "Ramanujan's fifth order mock theta functions as constant terms", Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill. , 1987), Boston, MA: Academic Press, pp. 47–56, MR 0938959
  • Andrews, George E. (1989), "Mock theta functions", Theta functions—Bowdoin 1987, Part 2 (Brunswick, ME, 1987), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 49, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 283–298, MR 1013178
  • Andrews, George E.; Garvan, F. G. (1989), "Ramanujan's lost notebook. VI. The mock theta conjectures", Advances in Mathematics, 73 (2): 242–255, doi:10.1016/0001-8708(89)90070-4, ISSN 0001-8708, MR 0987276
  • Andrews, George E.; Hickerson, Dean (1991), "Ramanujan's lost notebook. VII. The sixth order mock theta functions", Advances in Mathematics, 89 (1): 60–105, doi:10.1016/0001-8708(91)90083-J, ISSN 0001-8708, MR 1123099
  • Appell, P. (1884), "Sur les fonctions doublement périodiques de troisième espèce", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 1: 135–164, doi:10.24033/asens.236
  • Berndt, Bruce C.; Chan, Song Heng (2007), "Sixth order mock theta functions", Advances in Mathematics, 216 (2): 771–786, doi:10.1016/j.aim.2007.06.004, ISSN 0001-8708, MR 2351377
  • Bringmann, Kathrin; Folsom, Amanda; Ono, Ken (2009). "q-series and weight 3/2 Maass forms" (PDF). Compositio Mathematica. 145 (3): 541–552. doi:10.1112/S0010437X09004072. S2CID 7688222.
  • Bringmann, Kathrin; Ono, Ken (2006), "The f(q) mock theta function conjecture and partition ranks" (PDF), Inventiones Mathematicae, 165 (2): 243–266, Bibcode:2006InMat.165..243B, doi:10.1007/s00222-005-0493-5, ISSN 0020-9910, MR 2231957, S2CID 120388256, archived from the original (PDF) on 2006-08-29
  • Bringmann, Kathrin; Ono, Ken (2007), "Lifting cusp forms to Maass forms with an application to partitions" (PDF), Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 104 (10): 3725–3731, Bibcode:2007PNAS..104.3725B, doi:10.1073/pnas.0611414104, ISSN 0027-8424, MR 2301875, PMC 1820651, PMID 17360420, archived from the original (PDF) on 2008-08-28
  • Bringmann, Kathrin; Ono, Ken (2010), "Dyson's ranks and Maass forms" (PDF), Annals of Mathematics, 171: 419, doi:10.4007/annals.2010.171.419, archived from the original (PDF) on 2006-08-29
  • Bruinier, Jan Hendrik; Funke, Jens (2004), "On two geometric theta lifts", Duke Mathematical Journal, 125 (1): 45–90, arXiv:math/0212286, doi:10.1215/S0012-7094-04-12513-8, ISSN 0012-7094, MR 2097357, S2CID 2078210
  • Choi, Youn-Seo (1999), "Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook", Inventiones Mathematicae, 136 (3): 497–569, Bibcode:1999InMat.136..497C, doi:10.1007/s002220050318, ISSN 0020-9910, MR 1695205, S2CID 125193659
  • Choi, Youn-Seo (2000), "Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook. II", Advances in Mathematics, 156 (2): 180–285, doi:10.1006/aima.2000.1948, ISSN 0001-8708, MR 1808245
  • Choi, Youn-Seo (2002), "Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook. IV", Transactions of the American Mathematical Society, 354 (2): 705–733, doi:10.1090/S0002-9947-01-02861-6, ISSN 0002-9947, JSTOR 2693766, MR 1862564
  • Choi, Youn-Seo (2007), "Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook. III", Proceedings of the London Mathematical Society, 94 (1): 26–52, doi:10.1112/plms/pdl006, ISSN 0024-6115, MR 2293464
  • Dabholkar, Atish; Murthy, Sameer; Zagier, Don (2012). "Quantum Black Holes, Wall Crossing, and Mock Modular Forms". arXiv:1208.4074 [hep-th].
  • Dragonette, Leila A. (1952), "Some asymptotic formulae for the mock theta series of Ramanujan", Transactions of the American Mathematical Society, 72 (3): 474–500, doi:10.2307/1990714, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990714, MR 0049927
  • Fine, Nathan J. (1988), Basic hypergeometric series and applications, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 27, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1524-3, MR 0956465
  • Garthwaite, Sharon Anne (2008), "The coefficients of the ω(q) mock theta function", International Journal of Number Theory, 4 (6): 1027–1042, doi:10.1142/S1793042108001869, ISSN 1793-0421, MR 2483310
  • Gordon, Basil; McIntosh, Richard J. (2000), "Some eighth order mock theta functions", Journal of the London Mathematical Society, 62 (2): 321–335, doi:10.1112/S0024610700008735, ISSN 0024-6107, MR 1783627
  • Hickerson, Dean (1988a), "A proof of the mock theta conjectures", Inventiones Mathematicae, 94 (3): 639–660, Bibcode:1988InMat..94..639H, doi:10.1007/BF01394279, ISSN 0020-9910, MR 0969247, S2CID 122492320
  • Hickerson, Dean (1988b), "On the seventh order mock theta functions", Inventiones Mathematicae, 94 (3): 661–677, Bibcode:1988InMat..94..661H, doi:10.1007/BF01394280, ISSN 0020-9910, MR 0969247, S2CID 121384412
  • Hirzebruch, Friedrich; Zagier, Don (1976), "Intersection numbers of curves on Hilbert modular surfaces and modular forms of Nebentypus", Inventiones Mathematicae, 36: 57–113, Bibcode:1976InMat..36...57H, doi:10.1007/BF01390005, hdl:21.11116/0000-0004-399B-E, ISSN 0020-9910, MR 0453649, S2CID 56568473
  • Lawrence, Ruth; Zagier, Don (1999), "Modular forms and quantum invariants of 3-manifolds", The Asian Journal of Mathematics, 3 (1): 93–107, doi:10.4310/AJM.1999.v3.n1.a5, ISSN 1093-6106, MR 1701924
  • Lerch, M. (1892), "Bemerkungen zur Theorie der elliptischen Funktionen", Jahrbuch uber die Fortschritte der Mathematik, 24: 442–445
  • McIntosh, Richard J. (2007), "Second order mock theta functions", Canadian Mathematical Bulletin, 50 (2): 284–290, doi:10.4153/CMB-2007-028-9, ISSN 0008-4395, MR 2317449, S2CID 119499438, archived from the original on 2012-12-09
  • Ramanujan, Srinivasa (1988), The lost notebook and other unpublished papers, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-18726-4, MR 0947735
  • Ramanujan, Srinivasa (2000), "Collected papers of Srinivasa Ramanujan", Nature, Providence, R.I., 123 (3104): 631, Bibcode:1929Natur.123..631L, doi:10.1038/123631a0, ISBN 978-0-8218-2076-6, MR 2280843, S2CID 44812911
  • Selberg, A. (1938), "Über die Mock-Thetafunktionen siebenter Ordnung. (On the mock theta functions of seventh order)", Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 41: 3–15 Reprinted in volume I of his collected works.
  • Semikhatov, A. M.; Taormina, A.; Tipunin, I. Yu (2005), "Higher-level Appell functions, modular transformations, and characters", Communications in Mathematical Physics, 255 (2): 469–512, arXiv:math/0311314, Bibcode:2005CMaPh.255..469S, doi:10.1007/s00220-004-1280-7, ISSN 0010-3616, MR 2129953, S2CID 14466569
  • Serre, Jean-Pierre; Stark, H. M. (1977), "Modular forms of weight 1/2", Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf. , Univ. Bonn, Bonn, 1976), Lecture Notes in Mathematics, vol. 627, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 27–67, doi:10.1007/BFb0065296, ISBN 978-3-540-08530-0, MR 0472707
  • Troost, J. (2010), "The Non-Compact Elliptic Genus: Mock or Modular", Journal of High Energy Physics, 2010 (6): 104, arXiv:1004.3649, Bibcode:2010JHEP...06..104T, doi:10.1007/JHEP06(2010)104, S2CID 84838021
  • Watson, G. N. (1936), "The Final Problem: An Account of the Mock Theta Functions", Journal of the London Mathematical Society, 11: 55–80, doi:10.1112/jlms/s1-11.1.55
  • Watson, G. N. (1937), "The Mock Theta Functions (2)", Proceedings of the London Mathematical Society, s2-42: 274–304, doi:10.1112/plms/s2-42.1.274
  • Zagier, Don (1975), "Nombres de classes et formes modulaires de poids 3/2", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 281 (21): Ai, A883–A886, ISSN 0151-0509, MR 0429750
  • Zagier, Don (2009) [First published 2007], "Ramanujan's mock theta functions and their applications (after Zwegers and Ono-Bringmann)" (PDF), Séminaire Bourbaki. Exp. 986, Astérisque, 326: 143–164, ISSN 0303-1179, MR 2605321
  • Zwegers, S. P. (2001), "Mock θ-functions and real analytic modular forms" (PDF), q-series with applications to combinatorics, number theory, and physics (Urbana, IL, 2000), Contemp. Math., vol. 291, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 269–277, ISBN 978-0-8218-2746-8, MR 1874536
  • Zwegers, S. P. (2002), Mock Theta Functions, Utrecht PhD thesis, ISBN 90-393-3155-3
  • Zwegers, S. P. (2008), Appell–Lerch sums as mock modular forms (PDF)

برای مطالعه بیشتر

  • Ono, Ken (2008), "Mock theta functions, ranks and Maass forms", in Alladi, Krishnaswami (ed.), Surveys in Number Theory, Developments in Mathematics, vol. 17, Springer-Verlag, pp. 119–141, ISBN 978-0-387-78509-7, Zbl 1183.11064

پیوند به بیرون

  • International Conference: Mock theta functions and applications 2009
  • Papers on mock theta functions by George Andrews
  • Papers on mock theta functions by Kathrin Bringmann
  • Papers on mock theta functions by Ken Ono
  • Papers on mock theta functions by Sander Zwegers
  • Weisstein, Eric W. "Mock Theta Function". MathWorld.
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.