حساب ایتو

فرایند Y به صورت زیر تعریف می‌شود

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$

که خود یک فرایند تصادفی با پارامتر زمان t است که گاهی اوقات به صورت Y = H · X نوشته می‌شود. همچنین انتگرال اغلب یه صورت فرم دیفرانسیلی dY=HdX نوشته می‌شود.

یک فرایند ایتو به این صورت تعریف شده‌است که فرایند برابر جمع انتگرال نسبت به حرکت براونی و انتگرالی نسبت به زمان قابل بیان باشد:

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.}$

در اینجا B یک حرکت براونی است و لازم است که σ یک فرایند قابل پیش‌بینی و B-integrable (بورل انتگرال پذیر) باشد و μ نیز قابل پیش‌بینی و انتگرال پذیر است که،

${\displaystyle \int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty }$

برای هر t. انتگرال تصادفی را می‌توان به یک فرایند ایتو توسعه داد،

${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.}$

این تعریف برای همه انتگرال‌هایی که به صورت محلی محدود و قابل پیش است، تعریف شده‌است. به‌طور کلی لازم است که σ ویژگی B-integrable (بورل انتگرال پذیر) را داشته باشد و μ نیز Lebesgue (لبک) انتگرال‌پذیر باشد، بنابراین

${\displaystyle \int _{0}^{t}(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |)ds<\infty .}$

خواص زیر را می‌توان در آثار مانند Revuz & Yor 1999 و Rogers & Williams 2000 یافت:

• انتگرال تصادفی فرایند càdlàg است. علاوه بر آن، یک semimartingale نیز است.

لم ایتو نسخه قاعده زنجیره‌ای متغیرها است که روی انتگرال ایتو اعمال شده‌است. این لم یکی از قدرتمندترین و پراستفاده‌ترین قضیه‌ها ی مورد استفاده در حساب تصادفی(stochastic calclus) است. برای semimartingale x که dبعدی است و X = (X,... ,X) که تا مرتبه دوم مشتق پذیر است تابع f از R به R که f(X) یک semimartingale و

${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$