تابع Càdlàg

فرض کنید (M, d) یک فضای متریک و همچنین E ⊆ R باشد. یک تابع ƒ: E → M، تابع càdlàg نامیده می‌شود اگر برای هر t ∈ E:

• حد چپ (ƒ(t−) := lims↑t ƒ(s وجود داشته باشد، و
• حد راست موجود (ƒ(t+) := lims↓t ƒ(s و برابر (ƒ(t باشد.

که این بدان معناست که ƒ از راست پیوستگی و از چپ حد دارد.

• تمام توابع پیوسته، càdlàg هستند.
• به عنوان یک نتیجه از تعریف توابع càdlàg، تمام توابع توزیع تجمعی càdlàg هستند. برای نمونه احتمال تجمعی در نقطهٔ r میزان احتمالی است که یک متغیر تصادفی کمتر یا بیشتر از r باشد ، ${\displaystyle \mathbb{P}[x\le r]}$
  .
• مشتق راست ${\displaystyle f_{+}^{\mathrm{\prime }}}$
  هر تابع محدب f که روی یک بازهٔ باز تعریف شده باشد، یک تابع cadlag افزایشی است.

مجموعهٔ تمام توابع càdlàg از E تا M اغلب به صورت (D(E; M (و یا برای سادگی D) نمایش داده می‌شود و فضای Skorokhod نامیده می‌شود. می‌توان به فضای Skorokhod یک توپولوژی نسبت داد که مستقیماً ما را قادر می‌سازد «فضا و زمان را قدری دگرگون سازیم» (درحالی که توپولوژی‌های سنتی مربوط به همگرایی یکنواخت تنها اجازهٔ دگرگونی اندک فضا را می‌دهد)

برای سادگی [E = [0, T و M = R — برای بررسی بیشتر ساختار به Billingsley مراجعه کنید.

نخست لازم است که یک ماژول پیوستگی مشابه تعریف شود:

(ϖ′ƒ(δ. برای هر F ⊆ E، قرار دهید:

${\displaystyle w_f(F):=\underset{s,t\in F}{sup}|f(s)-f(t)|}$

و برای δ> ۰ ماژول càdlàg را چنین تعریف کنید:

${\displaystyle {\varpi }_f^{\prime }(\delta ):=\underset{\mathrm{\Pi }}{inf}\underset{1\le i\le k}{max}{w}_f([t_{i-1},t_i)),}$

که در آن مقدار infimum روی تمام اجزای Π = {۰ = t₀ <t₁ <… <t_k = T}, k ∈ N, با min_i (t_i − t_i−1)> δ محاسبه می‌شود. این شیوهٔ تعریف برای توابع غیر càdlàg شهودا پذیرفتنی است و می‌توان نشان داد که ƒ در اینجا càdlàg است اگر و تنها اگر ϖ′_ƒ(δ) → ۰ جایی که δ → ۰.

فرض کنید Λ مجموعه تمام توابع دوسویه پیوسته و strictly increasing از E به خودش باشد. (اینها "دگرگونی در زمان" هستند) فرض کنید:

${\displaystyle \Vert f\Vert :=\underset{t\in E}{sup}|f(t)|}$

نرم (ریاضی) یکنواخت روی تابع E را مشخص کند. متریک Skorokhod زوی σ در D به صورت زیر تعریف شود:

${\displaystyle \sigma (f,g):=\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{inf}max\{\Vert \lambda -I\Vert ,\Vert f-g\circ \lambda \Vert \},}$

که در آن I: E → E تابع همانی است. در بیان "wiggle"، مقدار||λ − I|| برابر است با "wiggle در زمان" و ||ƒ − g○λ|| ااندازهٔ "wiggle در فضاً را مشخص می‌کند.

توپولوژی Σ تولید شده توسط σ توپولوژِی Skorokhod توپولوژی در Dاست.

تعمیم توپولوژی یکنواخت

فضای C از توابع پیوسته E یک زیرفضا از D است. توپولوژی Skorokhod با C هم‌زمان با، توپولوژی وجود دارد.

کامل بودن

می‌توان نشان داد که، اگرچه D با معیار Skorokhod یک فضای کامل نیست، یک معیار معادل توپولوژیکی σ₀ وجود دارد که D با توجه به آن کامل است.

جدایی‌پذیری

با در نظر گرفتن هر کدام از σ یا σ₀ ، فضا ی D یک فضای تفکیک‌پذیر است بنابراین Skorokhod یک فضای polish است.

تنگی در فضای Skorokhod

به عنوان یک کاربرد از با قضیه Arzelà–Ascoli می‌تواند نشان داد که یک دنباله، … μn)n=۱٬۲) از اندازه‌گیری‌های احتمالاتی روی فضای D سخت است اگر و تنها اگر:
${\displaystyle \underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\mu }_n(\{f\in D|\Vert f\Vert \ge a\})=0,}$

و

${\displaystyle \underset{\delta \to 0}{lim}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\mu }_n(\{f\in D|{\varpi }_f^{\prime }(\delta )\ge \epsilon \})=0\text{ for all }\epsilon >0.}$

ساختار جبری و توپولوژیکی

تحت توپولوژِی Skorokhod و جمع نقطه‌ای توابع، D یک گروه توپولوژیکال نیست، به عنوان مثال:

فرض کنید بازیهٔ واحد باشد و در نظر بگیرید که یک دنباله از توابع مشخصه باشد. برخلاف این واقعیت که در توپولوژی، دنبالهٔ به ۰ همگرا نمی‌شود.

• https://en.wikipedia.org/wiki/Càdlàg